1.2.2 空间中的平面与空间向量（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2．2　空间中的平面与空间向量 课程标准 核心素养目标 1．能用向量语言描述直线和平面，理解平面的法向量． 2．能用向量语言描述直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系． 3．能用向量法证明有关直线、平面位置关系的判定定理，解决直线、平面平行与垂直的有关问题． 1．理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量．(数学运算) 2．会用向量语言表达线面、面面的垂直与平行关系．(直观想象) 3．理解并会用三垂线定理及其逆定理．(逻辑推理) 1．平面的法向量 (1)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． (2)用空间向量处理平行或垂直的关系 ①如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α；n⊥v⇔l∥α或l⊂α． ②如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2；n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合． [微练1]判断正误 (1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　√　) (2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　√　) (3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行或重合，两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(　√　) [微练2]设直线l的一个方向向量d＝(6，2，3)，平面α的一个法向量n＝(－1，3，0)，则直线l与平面α的位置关系是(　D　) A．垂直 B．平行 C．直线l在平面α内 D．直线l在平面α内或平行 2．平面的法向量的求法 在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． [微练3]点A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，则平面ABC的一个法向量为(　A　) A．(bc，ac，ab) B．(ac，ab，bc) C．(bc，ab，ac) D．(ab，ac，bc) 解析：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(－a，b，0)，＝(－a，0，c)，则·n＝0，·n＝0， 则 令x＝bc，则n＝(bc，ac，ab)． 3．三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 三垂线定理及其逆定理的区别与联系 联系：都是一面四线，三种垂直关系． 区别：①从条件或结论上看，三垂线定理是“线与射影垂直⇒线与斜线垂直”，而逆定理恰好相反；②从作用上看，三垂线定理是“共面直线垂直⇒异面直线垂直”，而逆定理恰好相反． 知识点一 求平面的法向量 已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求平面α的一个法向量． 解：因为A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)， 所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有即得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2， 所以平面α的一个法向量为n＝(2，1，0)． 利用待定系数法求法向量的步骤 如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝．试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量． 解：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，C(，1，0)，D1(0，3，3)，所以＝(0，3，3)，＝(，1，0)． 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量． 即令x＝1， 则n＝(1，－，)． 所以平面ACD1的一个法向量为(1，－，)． 知识点二 利用空间向量证明平行关系 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE． 证明：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，则＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向