1.1.2 空间向量基本定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．1．2　空间向量基本定理 课程标准 核心素养目标 了解空间向量基本定理及其意义． 1．理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义．(数学抽象) 2．熟记基底、基向量的概念．会选择恰当的基底表示空间向量．(数学抽象) 3．会用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空间向量基本定理解决空间几何中的简单问题．(逻辑推理) 1．平面向量中的结论 (1)共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa． (2)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb． 共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． (2)空间四点共面的充要条件：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y． [微练1]判断正误 (1)若p与a，b共面，则p＝xa＋yb．(　×　) (2)若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面．(　√　) (3)若P，M，A，B共面，则＝x＋y．(　×　) 3．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．此时，a，b，c都称为基向量； 如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． (1)任意三个不共面向量都可构成空间的一组基底；任意一组空间的基底都可生成空间的所有向量；每一个空间向量都可被分解到任意一组基底中基向量的三个不同方向；同一个向量在同一组基底下的分解式是唯一的． (2)对空间任一点O，及不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x＋y＋z＝1． [微练2]判断正误 (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(　×　) (2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则a，b，c全不是零向量．(　√　) (3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一组基底，则一定有a与b共线．(　√　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底．(　×　) [微练3]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝(　C　) A．i＋j＋k B．i＋j＋k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k 解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k． 知识点一 空间向量的共面问题 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．求证：向量，，共面． 证明：因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋．同理＝＝＋． 所以＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＝＋． 又与不共线， 根据向量共面的充要条件可知，，共面． 证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． 　已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面． 证明：令＝x＋y，则e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2． 因为e1和e2不共线，所以 解得 所以＝＋，所以A，B，C，D四点共面． 知识点二 基底的判断 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基底？ 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3． ∵{e1，e2，e3}是空间的一组基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， 即不存在实数x，y，使＝x＋y成立． ∴，，不共面． 故{，，}能作为空间的一组基底． 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a