1.1.1 第2课时 空间向量的数量积（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第2课时　空间向量的数量积 课程标准 核心素养目标 1．掌握空间向量的数量积． 2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 1．理解空间向量夹角的概念，并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律．(数学抽象) 2．能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题．(逻辑推理) 1．空间向量的夹角 两个非零向量共线且同向时，〈a，b〉＝0；两个非零向量共线且反向时，〈a，b〉＝π． 2．空间向量的数量积 (1)定义：空间中，已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉称为a，b的数量积(也称为内积)，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)规定：零向量与任意向量的数量积为0． 3．空间向量的数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2＝a2； (3)|a·b|≤|a||b|； (4)(λa)·b＝λ(a·b)； (5)a·b＝b·a(交换律)； (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [微练1]判断正误 (1)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c．(　×　) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　) [微练2]已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　D　) A．60° B．30° C．135° D．45° 解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos 〈a，b〉＝1－1·cos 〈a，b〉＝0，∴cos 〈a，b〉＝．∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°． 知识点一 空间向量的数量积运算 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： (1)·；(2)·；(3)·； (4)·． 解：(1)·＝·＝||||·cos 〈，〉＝cos 60°＝． (2)·＝·＝||2＝． (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝cos 120°＝－． (4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos 〈，〉－||||·cos 〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0． 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； (3)代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解． (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)A　解析：∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1． (2)解：如图，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0． ①·＝b·[(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16． ②·＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0． 知识点二 利用数量积求向量的夹角和模(线段的长度) 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长； (2)求与夹角的余弦值． 解：(1)记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝． ∵||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， ∴||＝，即AC1的长为． (2) ＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos 〈，〉＝＝， 即与夹角的余弦值为． 1．求两个非零向量夹角的两种途径 (1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用数量积求夹角的余弦值． 2．求两点间的距离或线段长度的方法 (1)将此线段用向量表示； (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得所求距离． 如图，已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°． (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 解：(1)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1． ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a