课后提升练(五) 空间中的点、直线与空间向量（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(五)　空间中的点、直线与空间向量 1．已知向量a，b分别是直线l1，l2的方向向量，且a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 C．x＝，y＝ D．x＝6，y＝ D　解析：∵l1∥l2，向量a，b分别是l1，l2的方向向量，∴a∥b，∴＝＝，∴x＝6，y＝．故选D． 2．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 A　解析：∵在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，∴＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，∴＝－2，∴直线AB与CD平行．故选A． 3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° B　解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)．设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，E(1，1，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，所以＝(1，1，2)，＝(－2，0，－2)， 所以cos 〈，〉＝＝＝－， 所以异面直线DE与B1C所成角的余弦值为，所以异面直线DE与B1C所成的角为30°，故选B． 4．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝________． 答案：0 解析：∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km．∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．解得k＝－，y＝＝z．∴y－z＝0． 5．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b夹角的余弦值为，则λ＝________． 答案：－2或 解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ，|a|＝，|b|＝3．cos 〈a，b〉＝＝＝，55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝． 6．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________． 答案：60° 解析：＝＋＋，∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，∴cos 〈，〉＝＝，∴异面直线a，b所成角是60°． 7．正四棱锥S­ABCD的八条棱长都相等，点E是SB的中点，则异面直线AE，SD所成角的余弦值为________． 答案： 解析：以正方形ABCD的中心O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 设四棱锥S­ABCD的棱长为2，则A(－1，－1，0)，B(1，－1，0)，S(0，0，)，D(－1，1，0)，E(，－，)， ∴＝(，，)，＝(－1，1，－)， ∴cos 〈，〉＝＝－． 故异面直线AE，SD所成角的余弦值为． 8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝EO．求异面直线DE与CD1所成角的余弦值． 解：不妨设正方体的棱长为1，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，O(，，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E(，，)，于是＝(，，)，＝(0，－1，1)，且||＝，||＝， 则cos 〈，〉＝＝． 所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为． 9．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA． 解：如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，过点O作OD⊥OA，以OA，OD，OC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)． 则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B(－，，0)． ∵P为AC的中点，∴P(，0，)， ∴＝(－，，0)， 又由已知，可得＝＝(－，，0)． 又＝＋＝(，，0)， ∴＝－＝(0，，－)． ∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA． 10．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，设异面直线AD与BE所成的角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为(　　) A． B． C． D． A　解析：以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a(a>0)， 则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，E(，，0)，D(0，