课后提升练(四) 空间向量的坐标与空间直角坐标系（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(四)　空间向量的坐标与空间直角坐标系 1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 A　解析：∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1． 2．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不能确定 D　解析：向量的坐标与B点的坐标不同．由于A点的坐标未知，故无法确定B点坐标． 3．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标是(　　) A．(0，0，0) B．(2，－1，－4) C．(6，－3，－12) D．(－2，3，12) C　解析：设对称点为P3，则点M为线段PP3的中点，设P3 (x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3 (6，－3，－12)． 4．已知A(1，2，－1)，B(5，6，7)，则直线AB与坐标平面xOz交点的坐标是(　　) A．(0，1，1) B．(0，1，－3) C．(－1，0，3) D．(－1，0，－5) D　解析：设直线AB与平面xOz交点的坐标是M(x，0，z)，则＝(x－1，－2，z＋1)．又∵＝(4，4，8)，且与共线，∴＝λ，即解得x＝－1，z＝－5． ∴点M的坐标为(－1，0，－5)，故选D． 5．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________． 答案：(0，2，1)　(2，2，1) 解析：因为A(0，0，0)，D1(0，2，1)，C1(2，2，1)，所以＝(0，2，1)，＝(2，2，1)． 6．如图所示，在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________． 答案：(1，，1) 解析：因为OA＝2，AB＝3，AA1＝2，所以O(0，0，0)，B1(2，3，2)．因为M为OB1的中点，所以M点的坐标为(，，)，即M(1，，1)． 7．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 故|2a＋b|＝＝5． (2)假设存在点E，＝(1，－1，－2)， ＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)， 若⊥b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝9－5λ＝0，解得t＝， 因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为 (－，－，)． 8．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos 〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为(　　) A．(1，1，1) B．(1，1，) C．(1，1，) D．(1，1，2) A　解析：设PD＝a，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E(1，1，)，∴＝(0，0，a)，＝(－1，1，)． ∵cos 〈，〉＝＝，∴a＝2，∴点E的坐标为(1，1，1)． 9．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则cos 〈〉＝________． 答案： 解析：建系如图， 则C1(0，1，2)，D(1，0，1)，A1(0，0，2)，C(0，1，0)． ∴＝(1，－1，－1)，＝(0，1，－2)． ＝＝． 10．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积． 解：以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)． 则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N(0，，1)． (1)＝(1，－1，1)，＝(0，－，1)， ∴||＝＝， ||＝＝． 故BM的长为，BN的长为． (2)S△BMN＝·BM·BN·sin ∠MBN， 而cos ∠MBN＝cos 〈，〉＝＝＝， ∴sin ∠MBN＝r＝， 故S△BMN＝×