课后提升练(十七) 点到直线的距离（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(十七)　点到直线的距离 1．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是(　　) A．(0，10) B．[0，10] C．[－5，5] D．(－5，5) B　解析：由题意得≤3，得0≤a≤10． 2．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　) A． B．－ C．－或－ D．－或 C　解析：由点到直线的距离公式可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－或a＝－．故选C． 3．已知两直线2x＋3y－3＝0与mx＋6y＋1＝0平行，则它们间的距离等于(　　) A． B． C． D．4 C　解析：∵直线2x＋3y－3＝0的斜率k1＝－，直线mx＋6y＋1＝0的斜率k2＝－， ∴－＝－，得m＝4． ∴它们间的距离d＝＝． 4．(多选)点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(2，－1) D．(－1，2) AC　解析：设点P坐标为(a，5－3a)，由题意知d＝＝，解得a＝1或a＝2，所以点P坐标为(1，2)或(2，－1)． 5．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A．0<d≤3 B．0<d≤5 C．0<d<4 D．3≤d≤5 B　解析：当两平行线垂直于AB时它们之间的距离最大，此时d＝|AB|＝＝5，故0<d≤5． 6．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________． 答案：10 解析：由两直线平行知，a＝8，6x＋8y＋30＝0可化为3x＋4y＋15＝0，∴d＝＝2，∴a＋d＝10． 7．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________． 答案：2x－y＋1＝0 解析：设直线l的方程为2x－y＋c＝0，由题意，得＝，解得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0． 8．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________． 答案：x－y＋10＝0或x－y－10＝0 解析：因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0．由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10．所以b＝±10．所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0． 9．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S． 解：由题意知直线AB的方程为＝，即3x－2y＋9＝0． 点C到直线AB的距离为d＝＝＝． 又因为|AB|＝＝． 所以S△ABC＝|AB|·d＝××＝4． 10．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 A　解析：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3． 11．点P(2，3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为(　　) A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1 C　解析：直线恒过点A(－3，3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1．故选C． 12．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________． 答案：(5，－3) 解析：由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，直线MP的方程为y－1＝－(x－2)， 解方程组得 ∴所求点的坐标为(5，－3)． 13．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a＝________． 答案：3 解析：由直线l1，l2的方程可知，直线l1∥l2．在直线l1上选取一点P(0, a)，依题意得，l1与l2的距离为＝，整理得＝，解得a＝3或a＝－4．因为直线l1不经过第四象限，所以a≥0，所以a＝3． 14．直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程． 解：若l1，l2的斜率存在，∵l1∥l2，∴设两直线的斜率为k．由斜截式得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0． 由点斜式得l2的方程y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0． 由两平行线间的距离公式得＝5， 解得k＝， ∴