课后提升练(六) 空间中的平面与空间向量（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(六)　空间中的平面与空间向量 1．(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中成立的是(　　) A．·＝0 B．·＝0 C．·＝0 D．·＝0 ABD　解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．又AC⊥BD，∴PC⊥BD．故选项B正确，选项A和D显然成立． 2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 D　解析：∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内． 3．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是(　　) A．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) B．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) AC　解析：∵＝(0，1，0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0，0)，而(1，1，1)·＝－1≠0，∴(1，1，1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；∵＝(0，1，－1)，＝(－1，0，1)，(1，1，1)·＝0，(1，1，1)·＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；∵＝(0，1，1)，而·(0，1，1)＝2≠0， ∴(0，1，1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确． 4．(多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．则下列结论中正确的是(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 ACD　解析：∵＋， 又因为A1M⊄平面DCC1D1，A1M⊄平面D1PQB1，所以A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，可得ACD正确．又B1Q与D1P不平行，故B不正确． 5．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________． 答案：3 解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v．∴(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，解得z＝3． 6．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是________． 答案：－3 解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)， ∴(2，m，1)＝x(1，0，－1)＋y(0，1，－1)＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3． 7．如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量． 解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，D(，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，则＝(，1，0)，＝(－，0，1)，向量＝(，0，0)是平面SBA的一个法向量． 设n＝(x，y，z)为平面SCD的一个法向量， 则即 取x＝2，得y＝－1，z＝1， 故平面SCD的一个法向量为(2，－1，1)． 8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证： (1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF． 证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系． 设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是(，，0)，(0，0，1)， ∴＝(－，－，1)． 又点A，M的坐标分别是(，，0)，(，，1)， ∴＝(－，－，1)． ∴＝，且NE与AM不共线．∴NE∥AM． 又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE． (2)由(1)知＝(－，－，1)． ∵D(，0，0)，F(，，1)，B(0，，0)， ∴＝(0，，1)，＝(，0，1)． ∴·＝0，·＝0．∴⊥，⊥． 又DF∩BF＝F，DF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF． 9．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) D　解析：若l∥α，则a·n＝0，逐一验证可知，