课后提升练(九) 空间中的距离（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(九)　空间中的距离 1．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　) A．1 B． C． D． C　解析：以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，)，F(2，1，)，所以|EF|＝＝，故选C． 2．已知平面α的一个法向量为n＝(－，，1)，且平面α过原点O，则点M(a，0，a)(a＞0)到平面α的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a D　解析：＝(a，0，a)，故点M到平面α的距离d＝＝＝a． 3．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　解析：因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影为＝＝－4．又||＝，所以AC边上的高BD的长为＝5． 4．如图所示，在直二面角D­AB­E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为(　　) A． B． C． D．2 B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2)．＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2)． 设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则即 令y＝1，则n＝(－1，1，－1)，故点D到平面ACE的距离为d＝＝＝． 5．(多选)如图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有(　　) A． B． C．3 D．2 ABCD　解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)， 所以＝(－3，－3，3)，因为＝＝(－1，－1，1)，所以＝＋(－1，－1，1)＝(2，2，1)．所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝，|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3，|PB|＝，|PD1|＝＝2． 故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2． 6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，则MN的长为________． 答案： 解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴， 则A1(4，0，4)，B(4，4，0)，C1(0，4，4)，D1(0，0，4)，又M为BD1的中点，所以M(2，2，2)，又N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，所以N(1，3，4)，＝(－1，1，2)，||＝＝． 7．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________． 答案： 解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则即令a＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(2，0，0)，所以d＝＝． 8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 答案： 解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为＝． 9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，AEC1F为平行四边形． (1)求BF的长． (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z)．因为四边形AEC1F为平行四边形，所以由＝得，(－2，0，z)＝(－2，0，2)，所以z＝2． 所以F(0，0，2)．所以＝(－2，－4，2