课后提升练(二十四) 椭圆的几何性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(二十四)　椭圆的几何性质 1．(2021·江苏泗阳实验中学高二月考)已知椭圆9x2＋4y2＝36，则其长轴长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．9 C　解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故a2＝9，b2＝4，∴椭圆的长轴为2a＝6，故选C． 2．椭圆＋＝1的左顶点到右焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 D　解析：椭圆＋＝1，可得a＝4，b＝2，c＝2，椭圆＋＝1的左顶点(－4，0)到右焦点(2, 0)的距离为2－(－4)＝6． 3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝． 4．(2021·福建莆田第十五中学高二期末)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　) A．2 B．4 C． D． D　解析：椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，即有0<m<1，由椭圆方程x2＋＝1可得，b＝1，a＝， 由长轴长是短轴长的2倍，可得＝2，解得m＝．故选D． 5．(2021·江苏连云港专题练习)已知a>b>0，则椭圆＋＝1与椭圆＋＝λ(λ>0且λ≠1)有(　　) A．相同的焦点 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 C　解析：将椭圆方程＋＝λ(λ>0且λ≠1)化为标准方程，得＋＝1(λ>0且λ≠1)，所以离心率e＝＝，故选C． 6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则该椭圆的离心率是________，△ABF2的周长是________． 答案：　8 解析：由题意得a＝2，c＝＝1，∴e＝＝，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8． 7．(2021·广东广州大学附中高二月考)若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 答案： 解析：依题意，得b＝3，a－c＝1．又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝＝． 8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________． 答案：6 解析：由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3(1－)，因为＝(x0＋1, y0)，＝(x0, y0), 所以·＝x0(x0＋1)＋y＝ x0(x0＋1)＋3(1－)＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6． 9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解：椭圆方程可化为＋＝1， ∵m－＝>0，∴m>． 即a2＝m，b2＝，c＝＝． 由e＝得， ＝，∴m＝1． ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝． ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1(0，－)，B2(0，)． 10．(多选)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　) A．－21 B．21 C．－ D． BC　解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝9，b2＝4＋k，得c2＝5－k．由＝＝，得k＝－；当焦点在y轴上时，a2＝4＋k，b2＝9，得c2＝k－5．由＝＝，得k＝21． 11．(2021·浙江宁波中学模拟)已知椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 C　解析：由题意知c2＝m＋4－m＝4，所以c＝2，又因为＝，所以m＝8，所以椭圆C的长轴长为2＝4．故选C． 12．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0，5)，则|PA|的最小值为________． 答案：2 解析：设P(x，y)，则|PA|＝＝，因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7， 则|PA|＝＝，因为－7≤y≤7，所以当y＝7时，|PA|min＝2． 13．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△ABF的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________． 答案： 解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，AB与x轴交于点H，则|AF|＝2a－|AF1|，△ABF的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|)．∵△AF1H为直角三角形，∴|AF1|＞|AH|，仅当|AF1|＝|AH|，即F1与H重合时，△ABF的周长最大，即最大周长为2(