课后提升练(二十七) 抛物线的标准方程（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(二十七)　抛物线的标准方程 1．若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则m＝(　　) A．± B．± C．±4 D．±8 A　解析：抛物线x2＝的准线方程为y＝－，由题意知＝2，解得m＝±． 2．抛物线y＝的焦点坐标为(0，－1)，实数a的值等于 (　　) A．4 B．－4 C． D．－ B　解析：抛物线y＝的标准方程为x2＝ay，焦点坐标为(0，)．由题意可知＝－1，解得a＝－4． 3．若点P到定点F(0，3)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　) A．x2＝12y B．x2＝－12y C．y2＝12x D．y2＝－12x或x＝0(y<0) A　解析：因为点P在直线y＋4＝0的上边，且点P到定点F(0，3)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小1，所以点P到定点F(0，3)的距离与它到直线y＝－3的距离相等，根据抛物线的定义，点P的轨迹是抛物线，焦点是F(0，3)，顶点在原点，开口向上，其方程为x2＝12y． 4．(多选)下列选项满足抛物线方程y2＝10x的是(　　) A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的直线作垂线，垂足坐标为(2，1) BD　解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以C不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以D满足． 5．如图是抛物线形拱桥，当水面在AB时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，当水位上升0．5 m后，水面宽为(　　) A． m B． m C．2 m D．2 m C　解析：如图建立直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2p，将A(－2，－2)代入x2＝－2p，得p＝1，可得抛物线方程为x2＝－2y，代入(x0，－)，得x0＝±，故水面宽度为2 m． 6．已知抛物线y＝mx2(m>0)的焦点与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则m＝________． 答案： 解析：将抛物线y＝mx2(m>0)的方程化为标准方程是x2＝y，所以其焦点坐标是(0，)，因为抛物线y＝mx2(m>0)的焦点与椭圆＋＝1的一个焦点重合，因此－2＝()2，解得m＝． 7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________． 答案： 解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8．不妨取M(1，4)，又A(－1，0)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝． 8．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________． 答案：4 解析：抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1, －3)到直线y＝1的距离，即最小值为4． 9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5． (1)求抛物线C的方程． (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程． 解：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5，所以p＝4， 所以抛物线C的方程是y2＝8x． (2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)， 则即 而点P(x0，y0)在抛物线C上，所以y＝8x0， 所以(2y)2＝8(2x－2)， 即y2＝4(x－1)，所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1)． 10．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2x的焦点，P(x0，y0)为C上一点，若|PF|＝x0，则△POF的面积为(　　) A．1 B． C． D． D　解析：由题意知，F的坐标为(，0)，因为点P(x0，y0)为C上一点，|PF|＝x0，则＋x0＝x0，解得x0＝1，所以P(1，±)，则△POF的面积为××＝． 11．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝2x AC　解析：因为抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，所以焦点F(， 0)．设M