课后提升练(二十六) 双曲线的几何性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(二十六)　双曲线的几何性质 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 C　解析：由双曲线标准方程为－＝1，得a2＝4，a＝2，故实轴长为2a＝4． 2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　) A．2 B． C． D． C　解析：由渐近线互相垂直可知(－)·＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，所以e＝． 3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 D　解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1． 4．(多选)(2022·江苏连云港高二期中)下列有关双曲线2x2－y2＝8的性质说法正确的是(　　) A．离心率为 B．顶点坐标为(0，±2) C．实轴长为4 D．虚轴长为4 ACD　解析：由2x2－y2＝8，得－＝1，所以a2＝4，b2＝8，所以a＝2，b＝2，c＝2，所以离心率e＝＝＝，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，顶点为(±2，0)，所以ACD正确，B错误． 5．已知双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则m的取值范围是 (　　) A．(－12，0) B．(－∞，0) C．(－3，0) D．(－60，－12) A　解析：显然m<0，所以a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，因为e∈(1, 2)，所以e2∈(1, 4)，所以＝∈(1, 4)，所以m∈(－12, 0)． 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是________． 答案：(，＋∞) 解析：双曲线的一、三象限渐近线的斜率k＝，要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，只要满足>2即可，∴>2，∴>2，∴e>． 7．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________． 答案：4 解析：易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，又知C的一条渐近线方程为y＝－x，则＝，解得m＝3．故C的方程为－y2＝1．所以C的焦距为4． 8．设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则双曲线C的方程为________；渐近线方程为________． 答案：x2－y2＝1　y＝±x 解析：根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，所以a＝1，c＝，于是b2＝c2－a2＝1，所以C的方程为x2－y2＝1，渐近线方程为y＝±x． 9．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|＝10，求|PF2|． 解：(1)由题意知，2a＝6，＝， 解得a＝3，c＝5，故b＝＝4． 所以双曲线C的标准方程为－＝1． (2)因为a＋c＝8，|PF1|＝10＞8， 所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上． ①若点P在双曲线的左支上， 则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝|PF1|＋6＝16; ②若点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝|PF1|－6＝4． 综上，|PF2|＝16或4． 10．(多选)已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小可能是(　　) A．15° B．25° C．60° D．165° ABD　解析：∵两条渐近线y＝±x的倾斜角分别为30°，150°，∴0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°． 11．(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　) A． B． C． D． A　解析：双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0．由点到直线的距离公式，得点(3，0)到渐近线3x±4y＝0的距离为＝．故选A． 12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________． 答案：y＝±x 解析：∵e＝＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x． 13．焦点为(0，6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________． 答案：－＝1 解析：由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x． 设双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)