课后提升练(二十九) 直线与圆锥曲线的位置关系（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(二十九)　直线与圆锥曲线的位置关系 1．已知直线l过定点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　) A．1个 B．1个或2个 C．2个 D．0个 C　解析：因为直线过定点(3，－1)且＋＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点． 2．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于(　　) A． B． C．2 D．3 A　解析：由解得交点A(0，1)，B(－，－)，则|AB|＝＝．故选A． 3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 C　解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1．因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8． 4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　　) A． (－，) B．(－，) C． [－，] D．[－，] C　解析：由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与双曲线右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知应选C． 5．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 B　解析：如图，过点P(1，2)的直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点有两种情况，分别是垂直于x轴和与渐近线y＝－2x平行． 6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 答案：0或1 解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1．综上可知，k＝0或1． 7．若直线y＝x－4与双曲线－＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：2 解析：将直线方程y＝x－4代入－＝1，整理得2x2－24x＋57＝0，则有x1＋x2＝12，x1·x2＝．由弦长公式得|AB|＝·＝·＝2． 8．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是__________． 答案：(－，) 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，由消去y，得3x2＋4x－2＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝－．则x0＝＝×(－)＝－，y0＝x0＋1＝． ∴所截得的弦的中点坐标为(－，)． 9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点F的距离为5． (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB． 解：(1)由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－． ∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离， ∴4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x． (2)证明：由消去y，得x2－12x＋16＝0，Δ>0． ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同的两点A，B， ∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有x1＋x2＝12，x1x2＝16． ∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴⊥，即OA⊥OB． 10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点A(2，1)，离心率为，过点B(3，0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N． (1)求椭圆的方程； (2)若|MN|＝，求直线MN的方程． 解：(1)由题意，解得a＝，b＝，c＝， ∴椭圆方程为＋＝1． (2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k(x－3)， 代入椭圆方程，整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0， 且Δ＝24－24k2>0，得k2<1． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， |MN|＝·＝， 解得k＝±，满足k2<1， ∴所求直线方程为y＝±(x－3)． 11．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A． B． C． D． D　解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，