课后提升练(二十八) 抛物线的几何性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(二十八)　抛物线的几何性质 1．顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝3x C．y2＝6x D．y2＝－6x C　解析：∵抛物线的焦点为F(，0)，∴p＝3，且抛物线开口向右．∴抛物线的标准方程为y2＝6x． 2．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 D　解析：F(1，0)，由抛物线定义得点A的横坐标为1， ∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2． 3．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为 (　　) A．1 B．1或3 C．2 D．2或6 B　解析：|AF|＋|BF|＝4⇒xA＋＋xB＋＝4⇒xA＋xB＝4－p⇒2x中＝4－p，因为线段AB的中点到直线x＝的距离为1，所以＝1，所以|2－p|＝1⇒p＝1或3． 4．设抛物线x＝y2上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A．6 B．8 C． D． B　解析：∵抛物线x＝y2化为标准方程为y2＝8x，其焦点为F(2，0)，∴其准线l的方程为x＝－2．设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2．∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8． 5．已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为(　　) A． B．－ C．－2 D．2 A　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，由得＝2，即4kAB＝2，kAB＝． 6．已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________． 答案： 解析：由抛物线定义得xA＋1＝5，xA＝4，又点A位于第一象限，因此yA＝4，从而kAF＝＝． 7．抛物线y2＝ax上有一点P(3，m)，它到焦点的距离等于4，则a＝________，m＝________． 答案：4　±2 解析：由题意得，a>0且所以 8．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 答案：(，±) 解析：设所求点(x0，y0)，由题意得抛物线的准线方程为x＝－，则x＋y＝(x0＋)2，又y＝x0，解得x0＝．即y0＝±． 9．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点． (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5． 解：(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点坐标为(－3，0)． 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3， 所以p＝6，所以方程为y2＝－12x． (2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)，A点坐标为(m，－3)．由抛物线定义得5＝|AF|＝|m＋|．又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x． 10．过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则＋＝(　　) A．2 B．1 C． D． D　解析：不妨设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线AB：y＝k(x－1)，⇒k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0⇒x1＋x2＝⇒|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋，同理可得|CD|＝4＋4k2，所以＋＝＋＝． 11．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0，1)，则＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为抛物线的焦点为F(0，)，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C． 12．(2022·福建福州期末)设抛物线y2＝2px上的三个点A(，y1)，B(1，y2)，C(，y3)到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3．若d1，d2，d3中的最大值为3，则p的值为________． 答案：3 解析：根据抛物线的几何性质可得d1＝＋，d2＝＋1，d3＝＋，由题意可得p>0，因此可判断d3最大，故d3＝＋＝3，解得p＝3． 13．已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________． 答案：2 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝．设AB中点为M′(x0，y