2.7 抛物线及其方程 2.7.2 抛物线的几何性质 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练习聚焦抛物线几何性质，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到综合问题解决的递进，培养数学运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线定义、焦点、准线、通径|单选题考查通径长（第1题）、开口大小（第2题），夯实概念理解| |综合应用|焦点距离、几何图形结合、最值|填空题（第8题）结合向量求最值，解答题（第10题）应用定义求距离，提升运算推理能力| |拓展提升|焦点弦性质、综合证明|多选题（第15题）探究焦点弦与准线关系，解答题（第14题）结合正三角形，发展创新意识与模型观念|

2.7.2　抛物线的几何性质 1.C　[解析] 抛物线的标准方程为y2=x,故2p=,因此通径长为.故选C. 2.A　[解析] 在抛物线的标准方程中,抛物线的一次项的系数的绝对值越小,开口越小,观察四个选项,A选项中一次项的系数的绝对值最小.故选A. 3.C　[解析] 依题意得,焦点F的坐标为.由|AF|=3|OF|,根据抛物线的定义,得x0+=,所以x0=p,则A(p,2),所以4=2p2,又p>0,所以p=.故选C. 4.A　[解析] 依据抛物线的对称性,可设三角形另外两个顶点的坐标分别为,(m>0),则tan 30°==,解得m=4,故这个等边三角形的边长为2m=8.故选A. 5.B　[解析] 将点P的坐标代入抛物线方程中得(2p)2=2p×2,可得p=1,则P(2,2),F,所以直线OP的斜率为1,且线段OP的中点为(1,1),则线段OP的垂直平分线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,易知线段OF的垂直平分线方程为x=.因为|MP|=|MO|=|MF|,所以点M为线段OP的垂直平分线和线段OF的垂直平分线的交点,由得所以点M的坐标为.故选B. 6.C　[解析] 连接FA,如图,由题得圆+y2=的圆心为F,半径为,FA⊥KA,且|FA|=.又|KF|=p,所以∠AKF=30°,所以∠AKB=60°,所以△AKB是等边三角形,所以|AB|=|AK|=p,又|AB|=,所以p=2.故选C. 7.BCD　[解析] 对于A,B,由抛物线方程y2=4x,得其焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1,故A错误,B正确;对于C,由y0=2及=4x0,得x0=1,则|PF|=x0+1=2,故C正确;对于D,依题意知,x0≥0,则|PF|=x0+1≥1,当且仅当x0=0时取等号,故D正确.故选BCD. 8.5　[解析] 设点P的坐标为(x,y),x≥0,则·=(2-x,-y)·(3-x,-y)=x2-5x+6+y2= x2-2x+6=(x-1)2+5,因为x≥0,所以当x=1时,·取得最小值,最小值为5. 9.y2=4x　[解析] 由题知,抛物线和△OAB都关于x轴对称,则A,B两点关于x轴对称,x轴是△OAB的边AB的垂直平分线.不妨设A在第一象限,如图,由|OA|=8,∠AOx=30°,得A(12,4),将A的坐标(12,4)代入抛物线方程得48=24p,解得p=2,故该抛物线的方程为y2=4x. 10.解:(1)抛物线y2=2x的准线方程为x=-,根据抛物线的定义可得,点P到抛物线焦点的距离为2+=. (2)设点P(x0,y0).根据抛物线的定义可得,点P到抛物线焦点的距离为x0+=4,所以x0=, 则=2×=7,所以y0=±,所以点P的坐标为或. 11.C　[解析] 如图,不妨取抛物线开口向右,则m>0.取PF的中点A,分别过点P,A作y轴的垂线,垂足分别为M,Q,延长PM交抛物线的准线于点P',则|AQ|=(|OF|+|PM|),且|OF|=|P'M|=,所以|AQ|=(|P'M|+|PM|)=|PP'|.由抛物线的定义可知|AQ|=|PP'|=|PF|,所以|AQ|为圆A的半径,即以PF为直径的圆必与y轴相切.故选C. 12.CD　[解析] 易知抛物线C的准线为l:y=-1,过点P作l的垂线,垂足为H,则|PF|=|PH|.当P在原点时,|PF|取得最小值1,故A错误;抛物线C:x2=4y关于y轴对称,故B错误;因为|PM|+|PF|=|PM|+|PH|≥|MH|,所以当M,P,H三点共线时,|PM|+|PF|最小,最小值为M到准线l:y=-1的距离4,故C正确;因为点M在抛物线内,所以只有当过M的直线平行于对称轴y轴时,过M的直线与抛物线C有一个公共点,故D正确.故选CD. 13.16　[解析] 由已知可得,l1,l2的斜率存在且不为0,=1,则p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设直线AB的方程为x=my+1(m≠0),则直线MN的方程为x=-y+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),由得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,所以|AB|=x1+x2+p=4m2+4,同理|MN|=x3+x4+p=+4,所以|AB|+|MN|=4m2+4++4=4m2++8≥2+8=16,当且仅当4m2=,即m=±1时,等号成立. [技巧点拨] 抛物线的焦点弦长一般可直接应用弦长公式|AB|=x1+x2+p,所以需要将直线方程与抛物线方程联立,消元、应用根与系数的关系. 14.解:(1)设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0). 因为点M在抛物线上,所以(-2)2=2p×2,解得p=2,因此抛物线C的标准方程是y2=4x. (2)如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上.设A(x1,y1),B(x2,y2), 则=4x1,=4x2,又|OA|=|OB|,所以+=+, 即(-)+4(x1-x2)=0,所以(x1-x2)(x1+x2+4)=0, 又x1>0,x2>0,所以x1=x2,则|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称. 因为x轴垂直于AB,且∠AOx=30°,所以=tan 30°=, 因为x1=,所以y1=4,故|AB|=2y1=8. 15.AC　[解析] 依题意得,F(1,0),所以p=2,则抛物线的方程为y2=4x,故A正确;由抛物线的定义知|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|,则|MN|=|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|,故B错误;设直线MN的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),由消去x得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,则|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=4m2+4,所以当m=0时,|MN|取得最小值4,故C正确;+=+===1,故D错误.故选AC. 16.y2=2x　[解析] 如图所示,设∠AFO=α,准线l与x轴交于点D,过点B作BB'⊥l于点B',由抛物线的定义知|BF|=|BB'|,|FD|=p,∠ABB'=∠AFO=α.在Rt△AB'B中,cos α==,则|BF|=|AB|cos α,从而|AF|=|BF|+|AB|=|AB|(1+cos α).又-|AF|=1,所以-|AF|=1,即-|AF|=1,所以|AF|=.在Rt△AFD中,cos α==,则p=|AF|cos α,所以p=·cos α=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7.2　抛物线的几何性质 1.抛物线x=8y2的通径长为 (　 ) A.8 B.4 C. D. 2.下列抛物线中,开口最小的是 (　 ) A.y2=x B.y2=x C.y2=2x D.y2=4x 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(x0,2),且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p= (　 ) A. B.1 C. D.2 4.已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为 (　 ) A.8 B.4 C.4 D.3 5.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(2,2p),O为坐标原点,则满足|MP|=|MO|=|MF|的点M的坐标为 (　 ) A. B. C. D. 6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于点K,过点K作圆+y2=的切线,切点分别为点A,B.若|AB|=,则p的值为 (　 ) A.1 B. C.2 D.3 7.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(x0,y0)在C上,则 (　 ) A.抛物线C的准线方程为x=2 B.F的坐标为(1,0) C.若y0=2,则|PF|=2 D.|PF|≥1 8.已知M(2,0),N(3,0),P是抛物线C:y2=3x上一点,则·的最小值为　　　　.  9.已知A,B为抛物线y2=2px(p>0)上的两点,若△OAB是边长为8的等边三角形,O为坐标原点,则该抛物线的方程为　　　　.  10.(13分)已知点P在抛物线y2=2x上. (1)若点P的横坐标为2,求点P到抛物线焦点的距离; (2)若点P到抛物线焦点的距离为4,求点P的坐标. 11.设抛物线y2=2mx的焦点为F,点P为抛物线上一点,则以PF为直径的圆 (　 ) A.必过原点 B.必与x轴相切 C.必与y轴相切 D.必与抛物线的准线相切 12.(多选题)[2025·福建漳州高二期末] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点P为C上任意一点,点M(1,3),则下列结论正确的是 (　 ) A.|PF|的最小值为2 B.抛物线C关于x轴对称 C.|PM|+|PF|的最小值为4 D.过点M且与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 ★13.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0)作直线l1,l2,直线l1,l2与抛物线C分别交于点A,B和M,N,若直线l1与l2互相垂直,则|AB|+|MN|的最小值为　　　　.  14.(15分)[2026·江苏南通高二月考] 已知抛物线C关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2). (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在C上,求这个正三角形的边长. 15.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,|OF|=1,过点F的直线与抛物线交于M,N两点,过点M,N分别作准线l的垂线,垂足分别为M1,N1,则 (　 ) A.抛物线的方程为y2=4x B.|MM1|+|NN1|=2|MN| C.|MN|的最小值为4 D.+= 16.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且-|AF|=1,则抛物线C的标准方程为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $