上海市高桥中学2024届高三上学期期中数学试题

高桥中学2023学年第一学期高三年级数学期中 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则_________. 2. 双曲线的实轴长为______. 3. 函数的周期为___________； 4. 的展开式的第8项的系数为_________（结果用数值表示）. 5. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为_________. 6. 若的解集为，则的值为__________. 7 ，，且，则_________. 8. 在中，，则的取值范围是__________. 9. 夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有__________种. 10. 水平放置的边长为1的正方形沿x轴正向滚动，初始时顶点A在坐标原点，（沿x轴正向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续）设顶点的轨迹方程是，则__________. 11. 在空间直角坐标系O－xyz中，三元二次方程所对应曲面统称为二次曲面．比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面上的任意一点，且，，，则当取得最小值时，的最大值为______． 12. 若关于不等式恒成立，求的最大值____________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分，第13、14题4分，第15、16题5分） 13. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 14. 奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 瀑布（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，轴旋转45°，得到三个正方体，（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）. （1）设，求，. （2）求点到平面的距离. 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）当，，解关于的不等式. 19. 图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为H、M，已知，，梯形的面积是面积的4倍，设. （1）求屋顶面积S关于的函数关系式； （2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为，假设校门的总高度为3m，试问，当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低? 20. 已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两个动点，面积的最大值为2. （1）求椭圆的方程； （2）设直线，的斜率分别为，，若，问：直线是否过定点?如果是，求出该定点；不是，请说明理由. （3）在第（2）题的条件下，若和的面积分别为，.求的最大值. 21. 设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称切线是的一条“切线”. （1）判断是否是函数的一条“切线”?并说明理由. （2）设，若对任意正实数，函数都存在“切线”，求实数的取值范围； （3）已知实数，函数，求证：函数存在无穷多条“切线”，且至少一条“切线”的切点的横坐标不超过. 高桥中学2023学年第一学期高三年级数学期中 一、填空