湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

长郡中学2023年下学期高二期中考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若两个不同平面的法向量分别为，则（ ） A. B. C. 相交但不垂直 D. 以上均不正确 2. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则 A. 3 B. C. -3 D. 4. 直三棱柱中，，、分别是、的中点，，则与所成的角的余弦值为（ ） A B. C. D. 5. 双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线E：和圆F：，焦点F作直线l与上述两曲线自左而右依次交于点A，C，D，B，则与的乘积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7. 已知数列满足且.若是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆上一点关于原点对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值是25 C. 点M的轨迹方程是 D. 的最大值为 12. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是的中点，作垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ） A. 若以为直径作圆M，则圆M与准线相切 B. 若直线l经过焦点F，且，则 C. 若，则直线l的倾斜角为 D. 若以为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为______. 14. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，，，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为__________． 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，则当C的离心率______时，满足. 16. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推. （1）这个数列的第100项为______； （2）整数N满足条件：且该数列的前N项和为2的整数幂，则最小整数______. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列各项均正数，且，. （1）证明：为等差数列，并求出通项公式； （2）设，求. 18. 四棱锥中，，平面，，E为AB的中点，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 19. 已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点. （1）求四边形QAMB面积的最小值； （2）若，求Q点的坐标. 20. 设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值． （1）求抛物线的方程； （2）当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 21. 已知数列，，，数列满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求的表达式； （3）求证： 22. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，焦距为2，上、下顶点分别为、，A为椭圆上的点，且满足. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过、作两条相互平行的直线，交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围. 长郡中学2023年下学期高二期中考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求