第三章 第3节 预言未知星体 计算天体质量（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中物理必修第二册（教科版2019）

第3节　预言未知星体　计算天体质量 课程内容要求 核心素养提炼 1．知道海王星的发现过程，了解哈雷彗星的“按时回归”． 2．学会应用万有引力定律“称量”地球质量，计算太阳质量，估算天体密度等． 1．物理观念：哈雷彗星回归、海王星． 2．科学思维：“称量”地球的质量、计算天体的质量． 3．科学态度与责任：发现未知天体，预言哈雷彗星回归． [对应学生用书P46] 1．英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算彗星的轨道，成功预言了彗星的回归． 2．未知天体的发现 根据已发现的天体的运行轨道，结合万有引力定律推算出未知天体的轨道，如海王星就是这样发现的． [思考] 如图，地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的轨道是一个非常扁的椭圆，哈雷彗星的周期约为76年，估算一下哈雷彗星轨道的半长轴约是地球公转半径的多少倍．(用立方根表示) 提示　根据开普勒第三定律＝， 得＝ ＝. 1．“称量”地球的质量 (1)若不考虑地球自转影响，地面上的物体所受的重力等于地球对物体的引力． (2)根据mg＝G可以解出m地＝. 2．计算天体的质量 ⇒m太＝． [思考] 如图是木星和它周围运行的卫星，测出一颗卫星的轨道半径和周期，怎样计算出木星的质量？ 提示　设木星和卫星质量分别为m木、m，测得轨道半径和周期分别为r和T.根据万有引力提供向心力G＝m，解得m木＝. [对应学生用书P46] 探究点一　天体质量和密度的计算 　如图所示，图甲中质量为m的物体放置在地面上，图乙中质量为m的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，探究如下问题： 甲　　　　　　　　　　　 　乙 (1)怎样用图甲来计算地球的质量和平均密度？(已知地球半径为R，引力常量为G，物体在地面上的重力加速度为g) 提示　物体所受重力近似等于地球引力，则mg＝G，解得M＝. 由V＝πR3可得ρ＝＝. (2)怎样用图乙来计算地球的质量和密度？(已知人造卫星的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G) 提示　根据万有引力提供向心力有 G＝mr，解得M＝. 由V＝πR3可得ρ＝＝. (3)在图乙中，若卫星做近地的圆周运动，则地球的平均密度是多少？ 提示　若人造卫星做近地圆周运动，则r＝R， 由(2)可知ρ＝. 情境及求解思路 结果 天体质量的计算 已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则G＝mg M＝ 质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝m()2r ①M＝ ②M＝ ③M＝ 天体密度的计算 ρ＝＝ ①ρ＝(gR2＝GM) ②ρ＝ ③ρ＝ r＝R时：ρ＝ ④ρ＝ r＝R时：ρ＝ 宇航员站在某一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点间的距离变为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和平均密度ρ. 解析　设该星球表面的重力加速度为g.根据平抛运动的特点可得，小球在竖直方向上的位移y＝gt2 当小球以初速度为v平抛时，则水平方向上的位移为x＝vt 有(gt2)2＋(vt)2＝L2① 当以2v的速度平抛小球时，水平位移为x′＝2vt.所以有(gt2)2＋(2vt)2＝(L)2② 在星球表面上，物体的重力近似等于万有引力，有 mg＝G③ 联立①②③式解得M＝ 而星球的体积V＝πR3， 由密度公式ρ＝得星球的密度ρ＝. 答案　　 [题后总结]　 (1)本题通过平抛运动知识求出星球表面的重力加速度，然后根据重力等于万有引力求出星球质量，最后求出星球的密度． (2)本题易出现的错误是把抛出点与落地点间的距离与平抛的水平射程混淆． [训练1]　(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　) A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的质量和绕地周期 C．核心舱的绕地角速度和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径 D　[根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得 G＝＝m＝mω2r＝mr 可得 M＝＝＝ 可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量．故选D.] [训练2]　在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表记下了一昼夜的时间T，然后用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%.试写出星球平均密度的估算表达式． 解析　设星球的质量为M，半径为R，两极表面重力加速度为g′，平均密