第三章 3.预言未知星体 计算天体质量-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（教科版2019）

3．预言未知星体　计算天体质量 【素养目标】　1．了解万有引力定律在天文学上的应用——预言未知星体。2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。3．掌握星体绕中心天体做圆周运动的各物理量与轨道半径的关系。 知识点一　天体质量的计算 [情境导学]　如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？ 提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。因为地球表面的重力加速度g和地球半径R已知，如果再已知引力常量G，由mg＝，可得M＝。 (阅读教材P66－P67完成下列填空) 1．预言未知星体 (1)预言彗星回归 ①哈雷根据牛顿的引力理论，对1682年出现的大彗星(哈雷彗星)的轨道运动进行了计算，预言它将于1758年再次出现。 ②克雷洛预言由于受木星和土星的影响，哈雷彗星将推迟于1759年4月份经过近日点，且得到证实。 (2)预言未知星体 根据天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来的轨道之间存在的明显偏差，英国的亚当斯和法国的勒维耶同时独立地预言了在天王星轨道之外有一颗当时还未知的行星，并计算了这颗未知星体的质量、轨道和位置。伽勒于1846年9月23日夜间在预定区域发现了这颗神秘的行星——海王星。它的发现，被认为是牛顿引力理论的伟大胜利。 2．计算天体质量 (1)称量地球的质量 ①思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。 ②关系式：mg＝G。 ③结论：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。 (2)太阳质量的计算 ①思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。 ②关系式：G＝mr。 ③结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r，就可以计算出太阳的质量。 [问题探究]　根据所学知识回答以下问题。 (1)若已知地球表面的重力加速度g和地球的半径R及引力常量G，求地球的密度。 (2)若已知天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，以及引力常量G，求此天体的密度。 提示：(1)由mg＝G和M＝ρ·πR3，可得ρ＝。 (2)由G＝mr和M＝ρ·πR3，可得ρ＝。 学生用书↓第66页 角度一　利用重力加速度法求天体的密度 地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：G＝mg、V＝πR3、ρ＝，联立解得ρ＝，A正确。 针对练．(2022·河南开封高一下学期期中)已知地球和月球的半径之比为4∶1，其表面的重力加速度之比为6∶1。则地球和月球的密度之比为(　　) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1 答案：B 解析：在星球表面的物体，重力和万有引力大小相等，即G＝mg，可得该星球的质量为M＝。因为该星球的体积为V＝πR3，则该星球的密度为ρ＝，所以地球和月球的密度之比为ρ地∶ρ月＝∶＝3∶2，故选B。 角度二　利用环绕法求天体的密度 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。 (1)求该天体的质量和密度； (2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T2，求该天体的质量和密度。 答案：(1)　　(2)　 解析：设卫星的质量为m，天体的质量为m中。 (1)卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR 解得该天体的质量m中＝ 根据数学知识可知，天体的体积V＝πR3 故该天体的密度ρ＝＝＝。 (2)卫星距天体表面的高度为h时，有 G＝m(R＋h) 解得该天体的质量m中＝ 故该天体的密度 ρ＝＝＝。 1．计算天体质量和密度的两种方法的对比 方法 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动，已知轨道半径r和环绕周期T 思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力提供向心力： G＝mr 天体质量 M＝ M＝ 天体密度 ρ＝＝ ρ＝＝；若R＝r，则ρ＝ 2．天体质量和密度类问题的关键词转化 针对练．(2022·湖南浏阳一中期末)中国古代的“太白金星”指的是八大行星中的金星。已知引力常量G，再给出下列条件，其中可以求出金星质量的是(　　) A．金星绕太阳运动的轨道的半径和周期 B．卫星绕金星表面附近运动时的线速度 C．金星的半径和金星表面的重力加速度 D．金星绕太阳运动的周期及地球绕太阳运动的轨道半径和周期 答案：C 解析：行星绕太阳运动时，万有引力提供其所需要的向心力，故有G＝m金r，可得太阳的质量M＝，而金星的质量m金在等式中已消掉，故A、D错误；由G＝，可得m金＝，由于金星的半径不知，故不能求出金星的质量，故B错误；在金星表面时，质量为m的物体所受重力与金星对其的万有引力相等，有mg＝G，可得m金＝，若已知金星的半径与金星表面的重力加速度，可以求出金星的质量，故C正确。 学生用书↓第67页 知识点二　天体运动参量的分析与计算 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 1．一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 2．两条思路 (1)G＝m＝mrω2＝mr＝ma (2)mg＝G(g为星体表面处的重力加速度)，即GM＝R2g，该公式通常被称为黄金代换。 3．四个重要结论 (1)由G＝m得v＝，r越大，天体的v越小。 (2)由G＝mrω2得ω＝，r越大，天体的ω越小。 (3)由G＝mr得T＝2π，r越大，天体的T越大。 (4)由G＝ma得a＝，r越大，天体的a越小。 可总结为“高轨、低速、长周期”，即环绕天体的轨道越高(圆轨道半径r或者椭圆轨道半长轴越大)，其加速度a、速度v、角速度ω越小，周期T越长。 角度一　天体运动参数的定性分析 (2023·四川泸州高一统考期末)我国发射了各种用途的卫星，例如碳卫星(全球二氧化碳监测科学实验卫星)距地面高度约为700 km，同步卫星距地面高度约为36 000 km。若两颗卫星均可视为绕地球做圆周运动，则这两颗卫星相比，碳卫星的(　　) A．加速度较大 B．周期较大 C．角速度较小 D．线速度较小 答案：A 解析：根据万有引力提供向心力有G＝m＝mRω2＝mR＝ma，解得a＝、T＝2π、ω＝、v＝，可知碳卫星的加速度较大、周期较小、角速度较大、线速度较大，A正确。 针对练．(2023·四川绵阳三台中学高一校考期末)天文学家发现，三颗行星A、B、C绕着仙女座厄普西仑星做匀速圆周运动，如图所示，行星A的周期为4.617 0 d，轨道半径为0.059 AU(地球与太阳之间的距离，1 AU＝1.496×108 km，G已知)，下列说法中正确的是(　　) A．行星B的角速度大于行星A的角速度 B．行星C的加速度大于行星A的加速度 C．三颗行星的周期与轨道半径的比值相等 D．由题中的数据可以计算厄普西仑星的质量 答案：D 解析：根据万有引力提供向心力有G＝mrω2＝ma，解得ω＝、a＝，由于rC>rB>rA，则ωC<ωB<ωA、aC<aB<aA，故A、B错误；根据开普勒第三定律有＝k(k为常量)，故C错误；根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，故由题中的数据可以计算厄普西仑星的质量，故D正确。 角度二　天体运动参数的定量计算 (多选)(2022·山东青岛二中期中)如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法正确的是(　　) A．a、b的线速度大小之比是∶1 B．a、b的周期之比是1∶2 C．a、b的角速度之比是3∶4 D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4 答案：CD 解析：两卫星均做匀速圆周运动，轨道半径之比是r1∶r2＝2∶3，万有引力提供向心力。由G＝m，可得＝＝，A错误；由G＝mr，可得＝＝，B错误；由G＝mrω2，可得＝＝，C正确；由G＝ma，可得＝＝，D正确。 针对练．如图所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n(0<n<1)倍，质量为火星的k倍，不考虑行星自转的影响，则(　　) A．金星表面的重力加速度是火星的倍 B．金星绕太阳运动的角速度比火星的大 C．金星绕太阳运动的加速度比火星的小 D．金星绕太阳运动的周期比火星的大 答案：B 解析：由“黄金代换”GM＝gR2可得g＝，所以＝＝，故A错误；由G＝ma＝mrω2＝mr可知轨道半径越大，加速度、角速度越小，周期越大，即金星做圆周运动的加速度、角速较大，周期较小，故B正确，C、D错误。 学生用书↓第68页 1．(2022·广东广州期末)假定测得月球表面物体自由落体加速度为g，已知月球半径R和月球绕地球运转周期T，引力常量为G。根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了。月球质量M为(　　) A．M＝ B．M＝ C．M＝ D．M＝ 答案：B 解析：在月球表面重力与万有引力大小相等，有G＝mg，可得月球质量M＝，故A错误，B正确；由题意知T为月球绕地球运动的周期，据此如果知道地月距离可以计算中心天体地球的质量，但不能求得环绕天体月球的质量，故C、D错误。 2．(鲁科版教材P108T2)我国“嫦娥二号”可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量，要测定月球的密度，仅仅需要(　　) A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定月球的体积 D．测定飞船的运行速度 答案：A 解析：当飞船在月球表面附近运行时，有G＝mR·＝m，可得月球的质量M＝或M＝，则月球的密度ρ＝＝＝或ρ＝＝＝。B、C项中不知月球质量，无法求出月球的密度；D项中不知月球的半径，无法求出月球的密度，由以上可知A正确。 3．(鲁科版教材P101T2)为满足不同领域的需要，我国有许多不同轨道高度的人造卫星。如图所示，在某一轨道平面上有人造卫星A、B都绕地球做圆周运动，两颗人造卫星的质量之比为1∶2，到地球球心的距离之比为2∶3，则它们的(　　) A．周期之比为3∶2 B．线速度大小之比为∶ C．向心加速度大小之比为4∶9 D．向心力大小之比为1∶18 答案：B 解析：由F＝G＝m＝mr＝ma得T＝2π、v＝、a＝，代入数据可得周期之比为2∶3，线速度大小之比为∶，向心加速度大小之比为9∶4，向心力大小之比为9∶8，故A、C、D错误，B正确。 4．对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由万有引力提供向心力有G＝mr，可得r3＝，由题图可知，＝＝，所以地球的质量为M＝，故B正确，A、C、D错误。 课时测评14　预言未知星体　计算天体质量 (时间：30分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (选择题1－9题，每题3分，共27分) 1．(多选)(2022·东北师大附中高一月考)万有引力定律不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。下列说法正确的是(　　) A．卡文迪许被称为“可以称量地球质量的人” B．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间 C．牛顿用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象 D．天王星被称为“笔尖上发现的行星” 答案：ABC 解析：卡文迪许用实验的方法测出引力常量G，从而可以算出地球的质量，因此卡文迪许被称为“可以称量地球质量的人”，A正确；英国天文学家哈雷依据万有引力定律计算彗星轨道，预言了哈雷彗星的回归时间，B正确；牛顿利用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象，C正确；“笔尖上发现的行星”是海王星，D错误。 2．土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　) A．5×1017 kg B．5×1026 kg C．7×1033 kg D．4×1036 kg 答案：B 解析：由万有引力定律和牛顿第二定律有F＝G＝mr，可得土星的质量M＝，代入数据可得M≈5×1026 kg，选项B正确。 3．如图所示，“嫦娥三号”携带玉兔探测车在月球虹湾成功软着陆。在实施软着陆过程中，“嫦娥三号”离月球表面4 m高时最后一次悬停、确认着陆点。若总质量为M的“嫦娥三号”在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设月球的质量为M′，由G＝Mg和F＝Mg解得M′＝，选项A正确。 4．(多选)(2023·四川绵阳三台中学高一校考期末)人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，若卫星运行中通过变轨周期增大了，卫星变轨后仍做匀速圆周运动，则(　　) A．卫星的高度减小 B．卫星的线速度减小 C．卫星的角速度增大 D．卫星的向心加速度减小 答案：BD 解析：人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，根据G＝m＝mrω2＝mr＝ma可得T＝2π、v＝、ω＝、a＝，若卫星运行中通过变轨周期增大了，则离地面的高度增大，线速度减小，角速度减小，向心加速度减小，B、D正确。 5．(多选)(2023·四川凉山高一统考期末)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，已知地球半径为R，甲距地面的高度为3R，乙距地面的高度为R，下列推论正确的有(　　) A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍 B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍 C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的 D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍 答案：CD 解析：根据万有引力提供向心力可得F＝G＝m＝ma，可得v＝∝、a＝∝，F＝G∝，可知甲、乙的速度之比为＝＝＝，向心加速度之比为＝＝＝，向心力之比为＝＝＝，故A、B错误，C正确；由开普勒第三定律＝k可知甲、乙的周期之比为＝＝＝，故D正确。 6．如图所示，a、b、c是环绕地球圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们的质量关系是ma＝mb<mc，则下列说法正确的是(　　) A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度 B．b、c的周期相等，且小于a的周期 C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．b所需向心力最小 答案：D 解析：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，根据G＝m得v＝，因为ra<rb＝rc，所以va>vb＝vc，A错误；根据G＝mr得T＝，因为ra<rb＝rc，所以Ta<Tb＝Tc，B错误；根据G＝ma得a＝，因为ra<rb＝rc，所以aa>ab＝ac，C错误；根据F＝G，因为ra<rb＝rc，ma＝mb<mc，所以b所需向心力最小，D正确。 7．(多选)(2023·四川绵阳三台中学高一校考期末)人造地球卫星在做圆周运动中，由于受到稀薄大气的阻力作用，其圆周运动的周期变为原来的，以下分析正确的是(　　) A．卫星的高度是原来的 B．卫星的速率是原来的2倍 C．卫星的向心加速度是原来的64倍 D．卫星的向心力是原来的16倍 答案：BD 解析：卫星绕地球做匀速圆周运动，根据F＝G＝mr＝m＝ma，可得＝、v＝、a＝G＝r。可知圆周运动的周期变为原来的，卫星运行半径是原来的，速率是原来的2倍，向心加速度是原来的16倍，向心力是原来的16倍，故A、C错误，B、D正确。 8．(多选)某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子，正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　) A．ρ＝ B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝ 答案：ACD 解析：由ρ＝，V＝π，联立解得ρ＝，D正确；由G＝mg0，ρ＝，V＝π，联立解得ρ＝，A正确；由G＝m′··，ρ＝，V＝π，联立解得ρ＝，C正确。 9．天文学家发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的(　　) A．轨道半径之比约为 B．轨道半径之比约为 C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为 答案：B 解析：由公式G＝mr，可得r＝，又M＝ρV，则＝＝＝，A错误，B正确；由G＝ma得a＝G，则＝·＝·＝，C、D错误。 10．(10分)(2023·四川成都高一统考期末)随着科技的进步，探索太空已由遥不可及的幻想变成可能。假设你是一名宇宙学家，即将登陆一颗未知星球。你的飞船正绕着该星球做半径为r的匀速圆周运动，飞船做圆周运动的周期为T，引力常量为G。 (1)求该星球的质量； (2)若已知该星球的半径为R，求该星球的密度。 答案：(1)　(2) 解析：(1)根据万有引力提供向心力有 G＝mr 可得M＝。 (2)该星球的密度ρ＝＝＝。 11．(10分)我国已成功发射嫦娥三号探月卫星，该探测器在着陆以前绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为r，它到月球表面的距离为h，已知“嫦娥三号”的质量为m，运行周期为T，引力常量为G，忽略其他天体对“嫦娥三号”的引力作用。求： (1)“嫦娥三号”运动的线速度大小； (2)月球的质量； (3)月球表面处的重力加速度g。 答案：(1)　(2)　(3) 解析：(1)对“嫦娥三号”，由圆周运动的公式得 v＝。 (2)由万有引力提供向心力得G＝mr 解得M＝。 (3)根据月球表面物体重力等于万有引力可得 G＝m′g 又M＝ 联立解得g＝。 12．(13分)(2023·四川绵阳高一统考期末)“嫦娥五号”完成了我国首次地外天体采样返回之旅。“嫦娥五号”在月球着陆前，先沿停泊轨道围绕月球做匀速圆周运动，如图所示。在停泊轨道上观察月球的张角为2θ；嫦娥五号着陆月球后进行了一系列实验，其中一个实验是：将一小球以速度v0竖直上抛，测出小球经时间t回到抛出点。已知引力常量为G，月球半径为R，忽略其他天体对“嫦娥五号”的引力，不考虑月球自转。求： (1)月球的质量M； (2)“嫦娥五号”在停泊轨道上运行的速率v。 答案：(1)　(2) 解析：(1)月球表面的重力加速度为g＝＝ 根据物体在月球表面受到的万有引力等于重力可得G＝mg 联立解得月球的质量为M＝。 (2)停泊轨道的半径为r＝ 根据万有引力提供向心力可得G＝m′ 联立解得“嫦娥五号”在停泊轨道上运行的速率为 v＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$