吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第五高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023~2024学年度高二年级上学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线l经过，两点，则l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 6. 已知圆C与y轴相切于点，且与直线相切，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D 或 7. 如图，在正四棱锥中，，E，F分别是PB，PD中点，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 8. 已知点，，O是坐标原点，Q是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，分别为棱，，的中点，则下列直线与垂直的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论不正确的是（ ） A. 若直线与垂直，则 B. 直线过定点 C. 直线与直线之间的距离是 D. 与点距离为，且与点距离为的直线共有条 11. 如图，在正四棱柱中，，，E为棱上的一个动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点E，使得平面 D. 存在点E，使得平面 12. 已知圆与直线，点P，Q分别在直线l和圆C上运动，则（ ） A. 的最小值为 B. 过点的直线被圆C截得的弦长的最小值为 C. 过P作圆C的切线PA，A为切点，的最小值为 D. 存在点P使得过P所作圆C的两条切线互相垂直 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为__________. 14. 已知直线l：被圆C：截得弦长为，则______． 15. 在所有棱长都为2的正四棱锥中，侧棱与侧面和底面所成的角分别为，，则______． 16. 若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则点到直线的距离的最大值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的一般式方程； （2）过点向圆作切线，求切线方程． 18. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，D为的中点． （1）以为空间的一组基底表示向量，． （2）线段上是否存在一点E，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在所有棱长均为1的平行六面体中，，侧棱与，均成角，为侧面的中心. （1）若N为的中点，证明：，B，D，N四点共面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. 20. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是正三角形，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值． 21. 在平面直角坐标系中，已知两个定点，，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过直线上一动点作曲线C的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点． 22. 如图，某湿地公园的形状是长方形，，E为的中点，线段为公园内部的人行道 （1）记的外接圆为圆M，以为直径的圆为圆N，判断圆M与圆N的位置关系，并说明理由； （2）今欲在人行步道（线段）上设一观景台P，已知当观景台P在过A，B两点的圆与线段相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，若该圆的半径小于50，问观景台P设在何处时，观赏和拍摄的效果最佳？ 2023~2024学年度高二年级上学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前