黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题

哈尔滨市第一中学校 2023-2024学年度上学期期中考试 高二数学试卷 出题人：贾广伟 梁晨 审题人：贾广伟 梁晨 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷选择题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 3. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 方向相反的两个向量是相反向量 B. 空间中任意两个单位向量必相等 C. 若向量满足，则 D. 相等向量其方向必相同 4. 直线和直线互相垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 6. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为 A. B. C. 2 D. 3 8. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选得0分，共20分） 9. 在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确是（ ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或 B. 经过定点的直线都可以用方程表示 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 已知直和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为或 11. 如图，为正方体，下面结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成的角的正弦值为 C 平面 D. 异面直线与所成角为 12. 已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. 最短时，弦长为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 直线过定点 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 直线过点，且平行于直线，则直线的方程为______． 14. 在长方体中，若是棱的中点，是面对角线与的交点，则向量与、___________.（填“共面”或“不共面”） 15. 已知点Px， y在圆C : x2  y2  6x  6y 14  0 上，则x  y的最大值为 ____________. 16. 正方体棱长为2，E是棱的中点，F是四边形内一点（包含边界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为__________． 四、解答（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17. 椭圆C：的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）经过点A（2，3）且倾斜角为的直线l与椭圆交于M，N两点，求|MN|． 18. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 19. 已知圆M经过两点B（0，－2），C（4，0），且圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）已知圆，若圆M与圆N相交的公共弦的弦长为，求r的值． 20. 已知直线． （1）求直线过定点坐标； （2）当直线时，求直线的方程； （3）若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程． 21. 在四棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）求证：； （2）若，，，，点在棱上，直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 22. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段中点的轨迹为曲线. （1）求曲线C的方程； （2）直线经过坐标原点，且不与轴重合，直线与曲线相交于两点，求证：为定值； （3）已知过点有且只有一条直线与圆相切，过点作两条倾斜角互补的直线与圆交于两点，求两点间距离的最大值. 哈尔滨市第一中学校 2023-2024学年度上学期期中考试 高二数学试卷 出题人：贾广伟 梁晨 审题人：贾广伟 梁晨 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷选择题 一、单选题（每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题