黑龙江省哈尔滨德强高级中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（Ⅰ卷）

德强高中2023-2024学年度上学期期中考试 高三学年数学I卷试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则ab的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 6. 已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 1 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 函数的最小值是2 10. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形面积为 D. 平行六面体的体积为 11. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论中正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 12. 已知函数部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图2中， D. 图2中，是及其内部点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 的单调增区间是_______. 14. 设E，F分别在正方体的棱，上，且，，则直线与所成角的余弦值为__________. 15. 已知，则的值为______. 16. 欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数：对于正整数n，表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如，．那么，数列的前n项和为__________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，求值． 18. 已知等差数列的前项和为，，且，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 19. 如图，平面四边形中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，，求． 20. 2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷.为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）. （1）若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率； （2）求使取得最大值的整数. 21. 如图，在三棱台中，，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 22. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，求a的取值范围； （3）当时，若，求证：． 德强高中2023-2024学年度上学期期中考试 高三学年数学I卷试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】