3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（模与夹角） 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（模与夹角） 理解并掌握空间向量的模长公式和夹角公式的坐标表示，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次。 会运用向量的夹角、模长公式的坐标表示求向量的夹角、长度，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次。 复习回顾 向量的坐标表示 向量的运算 向量的平行与垂直 =2+3+4 向量终点坐标A(x,y,z) 向量坐标=(x,y,z) 一一对应 =（2，3，4 a＋b =（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2） a－b =（x1－x2，y1－y2，z1－z2） λa =（λx1，λy1，λz1） a·b =x1x2＋y1y2＋z1z2 环节一 空间向量长度和夹角的坐标表示 回顾：在平面向量中我们如何求向量的长度？ 1、空间向量长度和夹角的坐标表示 求模先平方 求模小勾股 思考1：在空间向量中我们如何求向量＝（x，y，z）的长度？ 求模先平方 求模小勾股 思考2：若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），如何求 ｜｜呢？ 1、空间向量长度和夹角的坐标表示 ｜｜＝. ｜±｜＝ ｜＋＋｜＝ 推广： 求向量的模首先要用坐标表示出该向量！ 思考３：若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），如何求＜，＞呢？ 1、空间向量长度和夹角的坐标表示 cos＜，＞＝（≠0，≠0） 思考4：如何求cos<+2,->呢？ 求哪两个向量的夹角的余弦值，用哪两个向量的数量积除以它们的模积 例 1 若向量a＝（1，－1，2），b＝（2，1，－3），则｜a＋b｜＝（　D　） A. B.2 C.3 D. D 解答：由题意，知a＋b＝（1，－1，2）＋（2，1，－3）＝（3，0，－1），所以｜a＋b｜＝＝.故选D. 例 2 解答:a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7， 得a·c＝－7，又｜a｜＝＝， 所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°. 已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　C　） A.30° B.60° C.120° D.150° C 例 3 已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，2，2）.求： （1）｜a＋b－2c｜； （2）cos＜a－b，b－c＞. 解析：（1）a＋b－2c＝（4，－7，0）. ∴｜a＋b－2c｜＝＝. （2）a－b＝（0，－3，－2），b－c＝（2，－2，1）， ∴｜a－b｜＝，｜b－c｜＝＝3， （a－b）·（b－c）＝0＋（－3）×（－2）＋（－2）×1＝4， ∴cos＜a－b，b－c＞＝＝＝. 环节二 空间向量 的综合应用 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. （1）求BM，BN的长； 解答：（1）∵＝（1,－1,1）,＝（0,－，1）, ∴｜｜＝＝， ｜｜＝＝. 故BM的长为，BN的长为. 例 1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. （2）求△BMN的面积. 例 1 解答：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 则B（0，1，0），M（1，0，1），N（0，，1）. （2）S△BMN＝·BM·BN·sin ∠MBN. ∵cos ∠MBN＝cos＜，＞＝＝＝， ∴sin ∠MBN＝＝，故S△BMN＝×××＝. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：EF⊥CF； （1）证明　∵·＝×＋×（－）＋（－）×0＝0， ∴EF⊥CF. 例 2 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （2）求EF与CG所成角的余弦值； 例 2 （2）∵·＝×1＋×0＋（－）×＝， ｜｜＝＝， ｜｜＝＝， ∴cos＜，＞＝＝＝. 解析：以点D为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D（0，0，0），E（0，0，），C（0，1，0），F（，，0），G（1，1，）， ∴＝（，，－），＝（，－，0），＝（1，0，）， ＝（0，－1，）. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.（3）求CE的长. 例 2 （3）｜｜＝＝. 向量长度的坐标表示 向量夹角的坐标表示 求模先平方 求模小勾股 ｜｜＝. ｜±｜＝ ｜＋＋｜＝ cos＜，＞＝（≠0，≠0） $$