4.2.2 等差数列的前n项和公式（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册 《第四章 数列》 4.2.2 等差数列的前n项和公式 1 等差数列的前n项和公式 高斯(1777—1855) 德国著名数学家 享有“数学王子”之称 机智的高斯 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1+2+3+…+100=？ 高斯的求和过程利用了数列的什么性质？ 求等差数列“1,2,3,…,n,…”前100项的和 高斯的算法： 不同数的求和 相同数的求和 转化 高斯7岁那年开始上学。10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。一天，老师布置了一道题，1+2+3······这样从1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。”高斯非常坚定，说出答案就是5050。高斯是这样算的：1+100=101，2+99=101······50+51=101。从1加到100有50组这样的数，所以50X101=5050。 布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。 3 高斯算法在等差数列求和中的运用 能否利用高斯的算法求等差数列{an}的前n项和？ 等差数列{an}：1,2,3,…,n,… 求{an}的前100项和： 求{an}的前n项和： (n为偶数) 4 高斯算法在等差数列求和中的运用 能否利用高斯的算法求等差数列{an}的前101项和、前n项和？ 等差数列{an}：1,2,3,…,n,… 求{an}的前101项和： 求{an}的前n项和： (n为奇数) 5 高斯算法在等差数列求和中的运用 上述求和方法需要对n分奇数、偶数讨论，能否设法避免分类讨论？ 对于等差数列{an}：1,2,3,…,n,… ①n为偶数时， ②n为奇数时， 倒序相加法 6 倒序相加法在等差数列求和中的运用 倒序相加法能否推广到求等差数列{an}的前n项和？ 7 新知1.等差数列的前n项和公式 知首项/末项 知首项/公差 首末项的平均数即 为前n项的平均数 8 练习：等差数列前n项和公式 9 练习：等差数列前n项和公式 10 练习：等差数列前n项和公式 11 练习：等差数列前n项和公式 12 练习：等差数列前n项和公式 13 练习：等差数列前n项和公式 14 练习：等差数列前n项和公式 15 小结：等差数列的前n项和公式 知首项/末项 知首项/公差 小结：等差数列的判定方法 ①定义法： ③通项法： ②等差中项法： ④前n项和公式法： 练习：知Sn求an 18 等差数列前n项和的性质 新知2：等差数列前n项和的性质 k2d k2d 20 新知2：等差数列前n项和的性质 6 14 22 30 72 30 1 2 3 4 21 新知2：等差数列前n项和的性质 22 新知2：等差数列前n项和的性质 5 23 等差数列前n项和的性质 nd (n项) (n项) 24 等差数列前n项和的性质 an (n-1项) (n项) 25 新知2：等差数列前n项和的性质 中间两项和 中间项 26 巩固：等差数列前n项和的性质 10 27 巩固：等差数列前n项和的性质 5n－3 11 7 28 等差数列前n项和的最值 等差数列的前n项和Sn与函数的关系 (3)求Sn的最值： (1)一般形式： (2)图象： 结合二次函数的开口/对称轴分析 30 等差数列的前n项和Sn与函数的关系 1,3,5,7,… -1,-3,-5,-7,… 8,6,4,2,0,-2,… 7,5,3,1,-1,-3,… -4,-2,0,2,4,6,… -5,-3,-1,1,3,… 31 等差数列前n项和Sn的最值问题 (法1) (法2) 利用二次函数的性质求Sn的最值 利用邻项异号求Sn的最值 25,23,21,…,3,1,-1,-3,… 32 等差数列前n项和Sn的最值问题 (法3) 数形结合利用Sn的对称轴求Sn的最值 (法4) 利用等差数列的单调性 求Sn的最值 33 方法小结：求等差数列前n项和Sn的最值 34 等差数列前n项和Sn的最值问题 10或11 数形结合： 35 等差数列前n项和Sn的最值问题 18或19 (法1) (法2) 36 等差数列中的最值问题 13 等差数列的前n项和中， S1,…,S13为正，S14起为负 37 等差数列中的最值问题 7 6 > 38 求数列{|an|}的前n项和 + - 39 求数列{|an|}的前n项和 40 方法小结：求数列{|an|}的前n项和 求数列{|an|}的前