06 第四章 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 整体感知 [学习目标]　1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算) 2．掌握等差数列的前n项和公式．(数学运算) 3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个量求另外两个．(数学运算) 4．构建等差数列求和模型，解决实际问题．(数学建模、数学运算) 第1课时　等差数列的前n项和公式 (教师用书) 为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [讨论交流]　 问题1．等差数列的前n项和公式是什么？ 问题2．如何推导等差数列的前n项和公式？ 问题3．求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 探究建构 探究1　等差数列的前n项和公式 探究问题1　据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题： 1＋2＋3＋…＋100＝？ 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： (1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050． 你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？ 第1课时　等差数列的前n项和公式 [提示]　对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050．可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51这一特殊关系，这就是上一节我们学过的性质，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质是配对，将2n个数重新分组配对求和． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 探究问题2　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求其前n项和Sn? [提示]　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [新知生成] 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 【链接·教材例题】 例6　已知数列{an}是等差数列． (1)若a1＝7，a50＝101，求S50； (2)若a1＝2，a2＝，求S10； (3)若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 分析：对于(1)，可以直接利用公式Sn＝求和；在(2)中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn＝na1＋d求和；(3)已知公式Sn＝na1＋d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n． [解]　(1)因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得 S50＝＝2700． (2)因为a1＝2，a2＝，所以d＝． 根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 (3)把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得 －5＝n＋． 整理，得 n2－7n－60＝0． 解得 n＝12，或n＝－5(舍去)． 所以n＝12． [典例讲评]　1．在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d； (3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d． [解]　(1)由已知得解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 (2)由已知得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39， ∴d＝5．∴a8＝39，d＝5． (3)由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n＝15．又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－，∴n＝15，d＝－． 反思领悟　求等差数列的基本量的方法 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学以致用]　1．(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1 220，求该数列的前n项和． [解]　记该数列为{an}，公差为d． 由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得 解这个关于a1与d的方程组，得 因此，该数列的前n项和为Sn＝4n＋×6＝3n2＋n． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 【链接·教材例题】 例7　已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d． 探究2　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [解]　由题意，知 S10＝310，S20＝1220． 把它们代入公式Sn＝na1＋d， 得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． [典例讲评]　2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． [解]　当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5．经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5．数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [母题探究]　(变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． [解]　∵Sn＝2n2－3n－1①， ∴当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2； 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1②， ①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 经检验，当n＝1时，a1＝－2不满足上式， 故an＝ ∵a2－a1＝5，a3－a2＝4，即a2－a1≠a3－a2，∴数列{an}不是等差数列． 反思领悟　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝ 数列{an}不是等差数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学以致用]　2．已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r． (1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列； (2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件． [解]　(1)证明：当r＝0时，Sn＝25n－2n2， 令n＝1，S1＝25－2＝23， 当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n， 此时a1＝27－4＝23，所以an＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥2)，可得数列{an}是公差为－4的等差数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 (2)Sn＝25n－2n2＋r，令n＝1，得S1＝25－2＋r＝23＋r，当n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，所以 an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4(n≥3)， 可得n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列， 若数列{an}是等差数列，则a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0． 【链接·教材例题】 例8　某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn．由题意可知，{an}是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项． 探究3　等差数列前n项和的实际应用 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [解]　设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn．根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800． 由S20＝20a1＋×2＝800，可得 a1＝21． 因此，第1排应安排21个座位． [典例讲评]　3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－． 25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 【教用·备选题】　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [解]　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则 a1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元． 由题知，20个月贷款还清． 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝×20＝1 105(元)， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)． 反思领悟　应用等差数列解决实际问题的一般思路 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学以致用]　3．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 [解]　(1)设从第1圈到第9圈的石板数构成数列{an}，由题意可知数列{an}是等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝9，项数n＝9． 由等差数列的通项公式，得 a9＝a1＋(n－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块)． (2)由等差数列的前n项和公式，得 S9＝na1＋d＝9×9＋×9＝405(块)． 因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板． 2 4 3 题号 1 应用迁移 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a5＝7，则a8＝(　　) A．　　B．10　　C．11　　D． √ C　[由S3＝9，得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，所以a2＝3， 又a5＝7，a2＋a8＝2a5，所以a8＝11．故选C．] 第1课时　等差数列的前n项和公式 2 3 题号 1 4 2．已知等差数列{an}的前5项和S5＝35，且满足a5＝13a1，则等差数列{an}的公差为(　　) A．－3　　B．－1　　C．1　　D．3 √ D　[由题意得S5＝5a1＋10d＝35，a5＝a1＋4d＝13a1，解得d＝3，a1＝1．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 2 3 题号 4 1 3．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 95　[因为数列{an}为等差数列， 则由题意得 解得 则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．] 95 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 2 4 3 题号 1 4．中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________． 120　[由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列，设这个等差数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn．根据题意可知，S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390． 法一：S9＝＝9a5＝1 260，∴a5＝140． ∵a1＋a4＋a7＝3a4＝390，∴a4＝130，∴d＝a5－a4＝10，∴a3＝a4－d＝120． 120 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 2 4 3 题号 1 法二：由题意知 即解得 ∴a3＝a1＋2d＝120．] 1．知识链：(1)等差数列前n项和公式的推导过程． (2)与等差数列前n项和有关的基本运算． (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列． (4)等差数列前n项和的实际应用． 2．方法链：倒序相加法、公式法． 3．警示牌：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等差数列的前n项和公式有哪几种形式？ [提示]　1＋2＋3＋…＋n＝； 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； 1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2． [提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn的形式． 2．常用的数列求和公式有哪些？ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 阅读材料·拓展数学视野 高斯的故事 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名． 高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育．1795－1798年在格丁根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世． 第1课时　等差数列的前n项和公式 41 阅读材料·拓展数学大视野 高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以企及的天赋，最能证明这一点的是高斯10岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案来自高斯 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 42 阅读材料·拓展数学大视野 时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101……共有50对这样的数，用101乘50得到5 050．这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 43 课时分层作业(五)　等差数列的前n项和公式 题号 一、选择题 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且前3项的和为－6，最后3项的和为57，Sn＝85，则n的值为(　　) A．9　　B．10　　C．11　　D．20 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 B　[依题意，a1＋a2＋a3＝－6，an－2＋an－1＋an＝57， 所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝3(a1＋an)＝51， 所以a1＋an＝17，所以Sn＝85＝×n＝n，解得n＝10．故选B．] 第1课时　等差数列的前n项和公式 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，3a4－a7＝7，2a7－a9＝6，则S10＝(　　) A．55　　B．60　　C．65　　D．75 √ 14 15 C　[设等差数列{an}的公差为d，∵3a4－a7＝7，2a7－a9＝6， ∴解得a1＝2，d＝1， ∴S10＝10a1＋d＝20＋45d＝65．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 45 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，那么S11的值为(　　) A．88　　B．－88　　C．110　　D．－55 √ 14 15 D　[在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根， ∴a5＋a7＝－10，∴S11＝(a1＋a11)＝(a5＋a7)＝×(－10)＝ －55．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 46 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．设{an}是公差不为零的等差数列，且＝，则{an}的前6项和为(　　) A．－2　　B．0　　C．2　　D．4 √ 14 15 B　[设数列{an}的公差为＝，整理可得＝0，即2d(a4＋a2)＋2d(a5＋a3)＝0．又∵d≠0，∴a4＋a2＋a5＋a3＝0．∵a4＋a3＝a2＋a5，∴a3＋a4＝0．∴{an}的前6项和为＝3(a3＋a4)＝0．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 47 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的比前一天多7人．”则1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　) A．9　　B．16　　C．18　　D．20 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 48 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 B　[根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，且该数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列．设1 864人全部派遣到位需要的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程．故选B．] 14 15 49 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．若数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a3＋a13＝14，则其前15项和为________． 14 15 105　[根据题意，因为2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}为等差数列． 所以S15＝＝＝＝105．] 105 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 50 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________． 14 15 5　[因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5．] 5 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 51 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________． 14 15 －1　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．] －1 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 52 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10． (1)求{an}的通项公式； (2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 53 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d，所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n(n∈N*)． (2)因为{an}是等差数列，所以a2，a4，a6，…，a20是首项为a2＝22，公差为－6的等差数列，共有10项，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50． 14 15 54 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝6，则(　　) A．Sn＝n2－3n　　 B．Sn＝ C．an＝3n－6　　 D．an＝2n √ 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 55 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 BC　[设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝0，a4＝6，所以 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋ 3(n－1)＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝．故选BC．] 14 15 56 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．已知等差数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，S7＝5a5，则数列{an}的公差d＝(　　) A．1　　B．2　　C．－1　　D．－2 √ 14 15 D　[在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1， 由S7＝5a5可得7a1＋d＝5(a1＋4d)，即7＋21d＝5＋20d， 解得d＝－2．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 57 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为(　　) A．1 235　　B．1 800　　C．2 600　　D．3 000 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 58 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 A　[良马第一天行193里，之后每天比前一天多走13里， 驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里， 前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为S4＝＝1 235． 故选A．] 14 15 59 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 14 15 2 000 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 60 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 2 000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．] 14 15 61 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．记Sn为数列{an}的前n项和． (1)若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，求nan－Sn的表达式； (2)若数列是公差为的等差数列，证明：{an}是等差数列． 14 15 [解]　(1)由已知得an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝＝＝n2， 所以nan－Sn＝n(2n－1)－n2＝n2－n． 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 62 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)证明：∵＝＋(n－1)·＝， ∴nan－Sn＝，∴2nan－2Sn＝n2－n， 当n≥2时，2(n－1)an－1－2Sn－1＝(n－1)2－(n－1)， 两式相减得，2nan－2(n－1)an－1－2(Sn－Sn－1)＝2n－2， ∴2nan－2(n－1)an－1－2an＝2n－2， ∴(2n－2)an－2(n－1)an－1＝2n－2， ∴an－an－1＝1(n≥2)， ∴数列{an}是以1为公差的等差数列． 14 15 63 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．7月，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件． (1)7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？ (2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．该款服装在社会上流行几天？ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 阅读材料 第1课时　等差数列的前n项和公式 64 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件． 由题意知解得 ∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件． 14 15 65 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)设Sn是数列{an}的前n项和， ∵an＝ ∴Sn＝ ∵S13＝273>200， ∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13， 当14≤n≤31时，日销售量连续下降， 由an<20，得23≤n≤31， ∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)． 14 15 66 $$