07 第四章 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 整体感知 [学习目标]　1．理解等差数列前n项和的性质，并学会应用．(数学运算、逻辑推理) 2．能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．(数学运算) 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 (教师用书) 我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [讨论交流]　 问题1．等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 问题2．等差数列{an}中，其前n项和Sn，前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 探究建构 探究1　等差数列前n项和的性质 探究问题1　等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系． [提示]　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…是一个公差为n2d的等差数列． 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [提示]　因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n， 所以S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2n－a2n－1)＝nd． 又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an， a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝，S偶＝，所以＝． 探究问题2　在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在什么样的关系？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [新知生成] 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝． (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [典例讲评]　1．(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)，则等于(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110． √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 (1)B　[因为数列{bn}是等差数列，所以b3＋b18＝b6＋b15，所以＝， 又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)， 所以＝＝＝＝＝．] (2)[解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10＝100，S100＝10， ∴解得 ∴S110＝110a1＋d＝110×＝－110． 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10， 解得d＝－22， ∴前11项和为S110＝11×100＋×(－22)＝－110． 法三：由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10， b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＝－1，所以S110＝－110． 法四：直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝ －110． 反思领悟　在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时，恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法： (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用相关性质中的结论进行求解． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [学以致用]　1．(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． (2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m为________． －4 210 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 (1)－4　(2)210　[(1)设共有2m项，由题意得 a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，① S偶－S奇＝md＝34－50，② ①②联立得d＝－4． (2)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30，70，S3m－100成等差数列， ∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210．] 探究2　等差数列前n项和的最值问题 探究问题3　根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ [提示]　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是N*，公差的符号决定了该二次函数图象的开口方向，通常简记为Sn＝An2＋Bn(A，B∈R且A≠0)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [新知生成] 1．等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数 (常数项为0) 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 2．等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值． 特别地，若a1>0，d>0，则__是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，则___是{Sn}的最大值． 小 大 S1 小 S1 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 【教用·微提醒】　由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．   整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 【链接·教材例题】 例9　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 分析：由a1＞0和d＜0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an＜0，Sn递减．这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数项的和． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn＝n2＋n，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值．如图4.2-4，当d＜0时，Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的n，Sn的值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 解法1：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是递减数列． 又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，可知： 当n＜6时，an＞0； 当n＝6时，an＝0； 当n＞6时，an＜0． 所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…． 也就是说，当n＝5或6时，Sn最大． 因为S5＝×[2×10＋(5－1)×(－2)]＝30，所以Sn的最大值为30． 解法2：因为Sn＝n2＋n＝－n2＋11n＝－＋， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30． [典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2． (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前多少项和最大． [思路引导]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式．(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1，满足an＝34－2n． 故{an}的通项公式为an＝34－2n． 法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的常数项为0的二 次函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n． (2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的图象的对称轴为x＝， 距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的 图象(图略)可知，数列{an}的前16项或前17项的和最大． [母题探究]　将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少项和最大？ [解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2． ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169． ∴当n＝13时，Sn有最大值169． ∴数列{an}的前13项和最大． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 法二：同法一，求出公差d＝－2． ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27． ∵a1＝25>0， 由得 又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn取得最大值． ∴数列{an}的前13项和最大． 法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0． 由等差数列的性质得a13＋a14＝0． ∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0． ∴当n＝13时，Sn取得最大值． ∴数列{an}的前13项和最大． 法四：设Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17， ∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值． ∴数列{an}的前13项和最大． 反思领悟　1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [学以致用]　2．已知等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值． [解]　(1)∵{an}为等差数列， ∴a2＋a5＝a3＋a4，∴ 解得或 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 因为d＜0，所以 故解得 ∴an＝10－(n－1)＝11－n． (2)∵Sn＝＝＝－n2＋n， 又－＜0，函数y＝－x2＋x图象的对称轴为直线x＝， 故当n＝10或11时，Sn取得最大值，其最大值为55． 探究3　数列{|an|}的前n项和 [典例讲评]　3．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得a1＝13，d＝－2． 所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n． (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2． 综上，Tn＝ 反思领悟　1．一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列． 2．(1)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和； (2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论，最后结果未分段表示． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [学以致用]　3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－10，求数列{|an|}的前n项和Tn． [解]　由an＝2n－10≥0，得n≥5， 所以当n≤4时，an＜0；当n≥5时，an≥0， 所以当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝－n2＋9n； 当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a4|＋|a5|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a4)＋(a5＋…＋an)＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－9n＋40， 所以Tn＝ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 2 4 3 题号 1 应用迁移 1．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则 ＝(　　) A．　　B．　　C．　　D． √ D　[∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，＝，∴＝＝＝＝．] 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 2 3 题号 1 4 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝12，S10＝48，则S15为(　　) A．84　　B．108　　C．144　　D．156 √ B　[由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10也构成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10， 所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 2 3 题号 4 1 3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　) A．13　　B．14　　C．15　　D．14或15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 2 3 题号 4 1 B　[由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40， ∴Sn＝＝－n2＋n． 考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝． 又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14．] 2 4 3 题号 1 4．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n＋16，则数列{|an|}的前40项和为________． 1 890　[由an＝－3n＋16可知{an}前5项为正，第6项开始为负，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a40|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a40)＝＝35＋1 855＝1 890．] 1 890 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 1．知识链：(1)等差数列前n项和的最值问题． (2)等差数列前n项和性质的应用． (3)数列{|an|}的前n项和． 2．方法链：公式法、构造法、函数法、整体代换法． 3．警示牌：(1)忽视最值问题中n的个数． (2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？ [提示]　(1)通项法： 若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其中n可用不等式组来确定； 若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其中n可用不等式组来确定． (2)二次函数法：在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 2．等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么？ [提示]　推理基础是等差数列的性质，如在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 课时分层作业(六)　等差数列前n项和的性质及应用 题号 一、选择题 1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a5＋a8＝15，则S9＝(　　) A．15　　B．30　　C．45　　D．60 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 C　[已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a5＋a8＝15， 则3a5＝15，则a5＝5，则S9＝9a5＝9×5＝45．故选C．] 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知等差数列{an}共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为(　　) A．100　　B．105　　C．90　　D．95 √ 14 15 A　[由题意得， 故a11＝10，所以偶数项的和为100．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 50 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 023＜0，S2 024＞0，则当Sn最小时，n的值为(　　) A．1 010　　B．1 011　　C．1 012　　D．2 021 √ 14 15 C　[因为数列{an}是等差数列， 所以S2 023＝＝2 023a1 012， S2 024＝＝1 012(a1 012＋a1 013)， 因为S2 023＜0，S2 024＞0，所以a1 012＜0，a1 013＞0， 所以n＝1 012时，Sn最小．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 51 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则等于(　　) A．2　　B．　　C．1　　D． √ 14 15 D　[由题意，可得＝＝·＝·＝＝＝＝．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 52 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照所得票数(假设每人所得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放(　　) A．4 000元　　 B．4 500元 C．4 800元　　 D．5 000元 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 53 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 B　[由已知可知等差数列中S10＝2 000，S20＝ 3 500， 因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， 所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，解得S30＝4 500．] 14 15 54 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．在等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前 ________项和最大． 14 15 5　[设等差数列{an}的公差为d，依题意，a5＞0，a4＋a7＜0， 则a5＋a6＜0，所以a6＜0，d＜0，所以{an}的前5项和最大．] 5 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 55 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，2A＝B＋615，则an＝________． 14 15 3n－1　[根据题意，设等差数列{an}的公差为d， 若等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，即15d＝45，则有d＝3； 又由2A＝B＋615，变形可得 A＝B－A＋615＝45＋615＝660， 则有A＝＝15a15＝660，解得a15＝44，则an＝a15＋(n－15)d＝3n－1．] 3n－1 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 56 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为______________． 14 15 　[由当且仅当n＝8时，Sn最大， 知a8＞0且a9＜0， 于是解得－1＜d＜－， 故d的取值范围为．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 57 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝－5，S4＝－62． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn． 14 15 [解]　(1)因为a6＝－5，S4＝－62，设公差为d， 所以a1＋5d＝－5，4a1＋6d＝－62， 解得a1＝－20，d＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－23(n∈N*)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 58 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)令an＝3n－23≥0，解得n≥， 当n≤7时，an＜0，当n≥8时，an＞0， 所以当n≤7时，Tn＝－a1－a2－…－an＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－， 当n≥8时，Tn＝－a1－a2－…－a7＋a8＋a9＋…＋an ＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋an)＝＋154， 所以Tn＝(n∈N*)． 14 15 59 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝－18，S9＝－72，Sn取最小值时，n的值为(　　) A．11或12　　 B．12 C．13　　 D．12或13 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 60 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 D　[设等差数列{an}的公差为d， 因为a3＋a5＝－18，S9＝－72， 则有解得 所以an＝n－13，令an＝n－13≤0，则n≤13， 又a13＝0，所以当n＝12或13时，Sn取最小值．] 14 15 61 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　) A．　　B．　　C．　　D． √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 62 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 A　[设分的面包，从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2， 故3a1＋9d＝7(2a1＋d)，2d＝11a1，由S5＝5a3＝5(a1＋2d )＝100， 得a1＋2d＝12a1＝20，解得a1＝．故选A．] 14 15 63 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S2 022＜S2 023且 S2 023＞S2 024，则(　　) A．在数列{an}中，a1最大 B．在数列{an}中，S2 023最大 C．a2 024＞0 D．当n≥2 024时，an＜0 √ 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 64 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 ABD　[因为S2 022＜S2 023且S2 023＞S2 024， 所以S2 023－S2 022＝a2 023＞0，S2 024－S2 023＝a2 024＜0， 则等差数列{an}的公差d＝a2 024－a2 023＜0， 则在数列{an} 中，a1 最大，S2 023最大，故A正确，B正确； 因为a2 024＜0，故C错误；因为a2 023＞0，a2 024＜0，d＜0， 则当n≥2 024时，an＜0，故D正确．故选ABD．] 14 15 65 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100＝________． 14 15 5 050　[当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＝5 050．] 5 050 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 66 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝－2，S10＝25． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值． 14 15 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a4＝－2，S10＝25，得a1＋3d＝－2，10a1＋d＝25，解得a1＝－11，d＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－14． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 67 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)法一：由d＝3知{an}是递增数列， 当n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0． 所以当n＝4时，Sn最小，最小值为S4＝4a1＋×d＝－26． 法二：Sn＝na1＋d＝n2－n＝－，又n∈N*，所以当n＝4时，Sn最小，最小值为－26． 14 15 68 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________． (1)判断2 024是不是数列{an}中的项，并说明理由； (2)求Sn的最小值． 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 69 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　若选①， (1)设数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20． 令3n－20＝2 024，得n＝681∉N*， 所以2 024不是数列{an}中的项． 14 15 70 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)令an＝3n－20＞0，解得n＞， 所以当n≤6时，an＜0． 故当n＝6时，Sn取到最小值，为S6＝6a1＋15d＝－57． 若选②， (1)设数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝2n－12． 14 15 71 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 令2n－12＝2 024，解得n＝1 018∈N*， 所以2 024是数列{an}中的项． (2)令2n－12＞0，得n＞6，所以当n≤6时，an≤0． 故当n＝6或n＝5时，Sn取到最小值，为S5＝S6＝－30． 14 15 72 $$