第二章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

章末综合提升 素养一　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中直线与圆的方程的求解、距离的计算，都可提升学生的数学运算的学科素养，学生可借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质． 体现一　直线的方程 1．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量v＝(－3，2)，则直线l的方程为(　　) A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0 C　[法一：由得即直线l过点(1，1)．由题意知，直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选C． 法二：由题意设直线l：x＋y－2＋λ(2x－y－1)＝0(λ∈R)，即(1＋2λ)x＋(1－λ)y－2－λ＝0，又直线l的一个方向向量v＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－，所以直线l的方程为2x＋3y－5＝0.故选C．] 学生用书第76页 体现二　距离问题 2．直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程． 解析：　当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3. 解得k＝±－6，所以y＝x. 当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1， 所以x＋y－13＝0或x＋y－1＝0. 综上，所求直线方程为y＝x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0. 体现三　圆的方程 3．圆在x，y轴上分别截得的弦长为14和4，且圆心在直线2x＋3y＝0上，则此圆的方程是________________． 解析：　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则解得或 圆的方程为(x－9)2＋(y＋6)2＝85或(x＋9)2＋(y－6)2＝85. 答案：　(x－9)2＋(y＋6)2＝85或(x＋9)2＋(y－6)2＝85 素养二　逻辑推理 逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断都体现逻辑推理． 体现四　两条直线的平行与垂直 4．(1)(2023·重庆一中模拟考试)“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　) A．2或 B．或－1 C． D．－1 解析：　(1)由直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行，知a(a－1)＝2×3且a(7－a)≠3×2a，解得a＝3或a＝－2.由“a＝3或a＝－2”⇒/ “a＝3”，而“a＝3”⇒“a＝3或a＝－2”．故选A． (2)因为直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝或a＝－1.故选B． 答案：　(1)A　(2)B 体现五　直线与圆、圆与圆的位置关系 5．(1)圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的公切线有且仅有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 (2)已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2(r＞0)内一点，直线g是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则(　　) A．l∥g，且l与圆相离 B．l⊥g，且l与圆相切 C．l∥g，且l与圆相交 D．l⊥g，且l与圆相离 解析：　(1)由圆C1：x2＋y2＝1，得圆心坐标为C1(0，0)，半径为r＝1.由圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，得圆心坐标为C2(3，4)，半径为R＝4，则|C1C2|＝＝5，所以|C1C2|＝R＋r，所以圆C1与圆C2外切，所以两圆有且仅有三条公切线，故选C． (2)因为点M在圆内，所以a2＋b2＜r2.因为圆心(0，0)到直线l的距离d＝＞r，所以直线l与圆相离．又直线g的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，所以l∥g.故选A． 答案：　(1)C　(2)A 素养三　数学建模 数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，数学建模的主要步骤为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．本章在圆的方程的实际应用中会用到数学建模． 体现六　圆的方程的应用 6．街头有一片绿地，绿地的四条边界(单位：m)如图