第二章 培优微课3 圆系方程问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

常见的圆系方程的几种类型 1．同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中的a，b是定值，r是参数． 2．半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中的r是定值，a，b是参数． 3．过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(Ax＋By＋C)＝0. 4．过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验圆C2是否满足题意，以防丢解)． 当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0(当两圆是同心圆时，此直线不存在)． (1)若两圆相交，则直线l为两圆公共弦所在的直线； (2)若两圆相切，则直线l为公切线； (3)若两圆相离，则直线l为与两圆圆心连线垂直的直线． 类型1　同心圆系方程 与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0是同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 B　[圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝10.由于两圆为同圆心，所以可设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，把x＝1，y＝－1代入，得(1－2)2＋(－1＋3)2＝r2，解得r2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5，即x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.故选B．] 类型2　直线与圆相交，过两个交点的圆系方程 经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1，2)的圆的方程为__________． 解析：　由已知可设所求的圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1，2)代入可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0. 答案：　x2＋y2－x－y－＝0 类型3　过圆与圆交点的圆系方程 求经过点M(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与x2＋y2＝4交点的圆的方程． 解析：　法一：直接法 联立x2＋y2－6x＝0与x2＋y2＝4，解得或记两圆相交于A，B两点， 令A，B，故线段AB的垂直平分线方程是y＝0；设所求的圆的圆心为(a，0)，故圆的方程是(x－a)2＋y2＝＋， 把点M(2，－2)代入上述圆的方程，得a＝，因此所求圆的方程为＋y2＝，即x2＋y2－3x－2＝0. 法二：圆系解法 因为所求圆过两圆x2＋y2－6x＝0与x2＋y2＝4的交点，因此设所求圆的方程为x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0， 将M(2，－2)点坐标代入上式，可得22＋(－2)2－6×2＋λ(22＋(－2)2－4)＝0.化简得λ＝1，可得所求方程为x2＋y2－6x＋(x2＋y2－4)＝0，即x2＋y2－3x－2＝0. 1．已知圆系方程(x－m)2＋(y－2m)2＝5(m∈R，m为参数)，这些圆的公切线方程为________． 解析：　由题意知圆心的轨迹方程为y＝2x，则这些圆的公切线与直线y＝2x平行，设圆的公切线方程为2x－y＋c＝0，则＝，所以c＝±5， 所以这些圆的公切线方程为2x－y±5＝0. 答案：　2x－y±5＝0 2．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________． 解析：　法一：由 解得或 故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)， 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 法二：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)．易求得所求圆的圆心坐标为，将其代入方程x－y－4＝0，得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 答案：　(x－3)2＋(y＋1)2＝16 3．已知点P(－1，－2)在圆C上，且圆C经过直线x＋y＝0与圆C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，求圆C的方程． 解析：　法一：由 得或所以直线x＋y＝0与圆C1交于点A(1，－1)和点B(－4，4)． 设所求圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，将点A，B，P的坐标代入，得 解得满足D2＋E2－4F＞0， 所以所求圆C的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 法二：设所