第二章 培优微课2 对称与最值问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

一、对称问题 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得， 由得 2．点关于直线对称 设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直． 即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标． 3．直线关于点对称 直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程． 4．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． 类型1　中心对称问题 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标； (2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程． 解析：　(1)根据题意可知点A(a，b)为PP′的中点，设点P′的坐标为(x，y)，则根据中点坐标公式，得所以 所以点P′的坐标为(2a－x0，2b－y0)． (2)法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4)． 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)， 则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上， 所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 类型2　轴对称问题 点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，5) C．(2，－5) D．(4，－3) B　[设对称点Q的坐标为(a，b)，由题意， 得解得即Q(－2，5)．故选B．] 已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程． 解析：　法一：因为l1∥l，所以l2∥l， 设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3且m≠－1)， 因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．由两平行直线间的距离公式，得＝，解得m＝－5或m＝3(舍去)，所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 法二：因为l1∥l，l2∥l， 设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3且m≠－1)， 在直线l1上取一点M(0，3)， 设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)， 则有解得 即M′(4，－1)． 把点M′(4，－1)代入直线l2的方程，得m＝－5， 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 学生用书第61页 二、最值问题 与直线有关的最值问题，首先根据所求式子的特征确定其几何意义，将问题转化为两点间的距离，点到直线的距离等，并分析点与直线的位置关系，从而确定最值． 类型1　由点到直线的距离求最值 已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，求的最小值． 解析：　因为＝， 所以上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0，1)的距离，即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， 所以|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝＝. 类型2　由两平行线的距离求最值 已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，求的最小值． 解析：　取点P(m，n)，Q(a，b)， 则＝|PQ|. 由已知3m＋4n＝6，3a＋4b＝1， 可得点P在直线l1：3x＋4y－6＝0上， 点Q在直线l2：3x＋4y－1＝0上． 显然两直线平行，所以|PQ|的最小值就是两平行线之间的距离，即＝1. 类型3　利用对称求最值 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得： (1)P到B(0，4)与A(4，1)的距离之差最大； (2)Q到C(3，0)与A(4，1)的距离之和最小． 解析：　(1)如图，设点B关于l的对称点