第二章 培优微课2 对称与最值问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

培优微课2　对称与最值问题 　 第2章　直线和圆的方程 一、对称问题 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得， 2．点关于直线对称 设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直． 3．直线关于点对称 直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程． 4．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． 类型1　中心对称问题 　　　 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标； 典例1 所以点P′的坐标为(2a－x0，2b－y0)． (2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程． 法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4)． 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)， 则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上， 所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 类型2　轴对称问题 　　　　点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，5) C．(2，－5) D．(4，－3) 设对称点Q的坐标为(a，b)，由题意， 典例2-2 √ 　　　　已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程． 法一：因为l1∥l，所以l2∥l， 设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3且m≠－1)， 典例2-2 法二：因为l1∥l，l2∥l， 设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3且m≠－1)， 在直线l1上取一点M(0，3)， 设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)， 即M′(4，－1)． 把点M′(4，－1)代入直线l2的方程，得m＝－5， 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 二、最值问题 与直线有关的最值问题，首先根据所求式子的特征确定其几何意义，将问题转化为两点间的距离，点到直线的距离等，并分析点与直线的位置关系，从而确定最值． 类型1　由点到直线的距离求最值 所以上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0，1)的距离，即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， 所以|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 典例3 类型2　由两平行线的距离求最值 典例4 取点P(m，n)，Q(a，b)， 由已知3m＋4n＝6，3a＋4b＝1， 可得点P在直线l1：3x＋4y－6＝0上， 点Q在直线l2：3x＋4y－1＝0上． 显然两直线平行，所以|PQ|的最小值就 类型3　利用对称求最值 　　　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得： (1)P到B(0，4)与A(4，1)的距离之差最大； 典例5 即2x＋y－9＝0. 易知|PB|－|PA|＝|PB′|－|PA|， 当且仅当P，B′，A三点共线时， |PB′|－|PA|最大． 所以联立直线l与AB′的方程， (2)Q到C(3，0)与A(4，1)的距离之和最小． 如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)， 所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知|QC|＋|QA|＝|QC′|＋|QA|，当且仅当Q，A，C′三点共线时， |QC′|＋|QA|最小． 1．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是 尝试训练 √ 2．已知M(4，－1)，若点P是直线l：y＝2x＋