第一章 培优微课1 空间直角坐标系的构建策略-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

培优微课1　空间直角坐标系的构建策略 　 第1章　空间向量与立体几何 　　利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距离等问题，关键是依托图形建立适当的空间直角坐标系，将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成．如何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面主要介绍空间直角坐标系建系的几种策略． 策略一　利用共顶点且互相垂直的三条棱 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； 典例1 以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)， (2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值． 取n＝(2，－2，1)．设平面ADC1与平面ABA1的夹角为θ， 策略二　利用面面垂直关系 已知三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； 典例2 连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC， 所以A1E⊥平面ABC. 如图所示，以点E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，分别以射线EC，EA1的方向为y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Exyz. (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 设直线EF与平面A1BC所成角为θ. 策略三　利用线面垂直关系 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 典例3 取BC的中点E，连接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD， 策略四　利用底面的高及中心 已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为 2a，高为h. (1)求∠DEB的余弦值； 典例4 (2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值． 1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； 尝试训练 如图所示，以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， (2)求BA1与CB1夹角的余弦值； 依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， (3)求证： 是平面C1MN的一个法向量． 依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)， B1(0，1，2)，N(1，0，1)，B(0，1，0)． 又C1M∩C1N＝C1，C1M，C1N⊂平面C1MN， 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA＝PD＝ ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； 证明：在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD. 又因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. (2)求异面直线PB与CD所成的角的余弦值； (3)求点A到平面PCD的距离． 设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)． 3．如图，在正四棱锥S -ABCD中，AB＝2，SA＝3，P为侧棱SD上的点．若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的余弦值． 如图，连接BD，交AC于点O，连接SO，由题意，知SO⊥平面ABCD，AC⊥BD， 所以OS，OB，OC两两垂直． 因为SD⊥平面PAC， 谢 谢 观 看 ！ 第 1 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 又异面直线所成角的范围是， 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. 所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)， 所以cos〈，〉＝＝， 则cos θ＝|cos〈，n〉|＝＝，所以sin θ＝， 所以平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为. ＝(0，2，0)是平面ABA1的一个法向量． 设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以即 由·＝0得EF⊥BC. 不妨设AC＝4，则A1(0，0，2)，B(，1，0)， B1(，3，2)，F，C(0，2，0)． 因此，＝