精品解析：上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

上海市位育中学2023学年第一学期期中考试试卷 高二年级 数学学科 （考试时间100分钟，总分100分 命题：俞冰清 审题：苏发银） 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 两条异面直线所成角的取值范围是________ 2. 两个平面的位置关系有______． 3. 已知正三角形的边长为，在水平线上，则其平面直观图的面积为____ 4. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___ 5. 已知为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为___________. 6. 正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分 7. 圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，则圆柱的体积为__________. 8. 在平行六面体中，，，，则___________. 9. 已知一个圆柱和一个圆锥同底等高，且圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为___________. 10. 已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长度为___________. 11. 在120°的二面角﹣l﹣内有一点P，P在平面、内的射影A、B分别落在半平面内，且PA＝3，PB＝4，则P到l的距离为________． 12. 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm3. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分 13. 下列命题正确的是（ ） A 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行 C. 如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 D. 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 14. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 15. 已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 16. M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①为假命题，②为假命题； 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，正方体中，，求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 18. 沪版必修第三册教材中用了较多篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力. （1）写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理； （2）表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）. 19. 如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α． （1）求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)； （2）要使倾斜后容器内溶液不会溢出，求α的最大值． 20. 如图， 在四棱锥中， 底面， 四边形为正方形， ， 分别是的中点． （1）证明：平面． （2）鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由. 21. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小． 四、附加题（本题满分10分，每小题各5分） （芯苗班、楚材班必做，其它班选做） 22. 正方体中，过作直线，若直线与平面中直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为_________. 23. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶