专题1.10与解直角三角形有关的辅助线作法2023年九年级中考数学复习

专题十 与解直角三角形有关的辅助线作法 类型一 遇特殊角作垂线 方法 遇特殊角（30°，45°，60°）作垂线 条件：如图，遇到特殊角（30°，45°，60°） 辅助线：过非特殊角的顶点作垂线 结论：构造出含特殊角的直角三角形 1. 如图，在▲ABC中，∠B=30°，∠C=45°，若AB=4，求BC的长。 2. 如图，河岸C处有一瞭望塔，已知在C处的河段宽度为80米，小明在C处发现河对岸边上有A，B两棵树，在C处观测对岸点A，测得∠ECA=60°，观测点B，测得∠ECB=45°，已知河两岸平行，求两棵树之间的距离。（精确到0.01米，1.414，1.732）。 3. 北京冬奥会的成功举办点燃了许多人对滑雪的热情，如图，某滑雪轨道由线段AB，线段BC两部分组成，且AB，BC的长度相等，点A到水平面的距离为500米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由起始点A滑倒了终点C，用时100秒，若AB与水平面的夹角为30°，BC与水平面的夹角为45°，求滑雪的平均速度。 典例精析 例1. 为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，老师组织全班同学开展了测量物体高度的实践活动。小明选择测量旗杆AB的高度，如图，在教学楼的四楼地面D处测得旗杆顶部B的俯角为30°，测得旗杆底部A的俯角为60°，已知教学楼每层为3米，求旗杆AB的高度。 针对训练 1.小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如因所示的平面图形，吊车在水平地面上吊起货物时，吊缆与地面保持垂直，已知吊车吊臂OA=10米，吊臂的支点0距离地面的高 O=3米.当吊臂顶端由A点抬升至点时，地面B 处的重物被吊至处，吊缆=AB，吊臂 O=0A.∠A=60°，∠=30°. (1)求吊缆的长度； (2)求此重物在竖直方向移动的距离C.（结果保留根号） 2.如图,A,B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号,此时测得 C点位于观测点A的北偏东 45°方向上，同时位于观测点 B 的北偏西 60°方向上，观测点A与观测点 B 的距离为 20 海里。 (1)求海轮 C到观测点 B的距离； (2)有一艘救援船位于观测点 B 的正南方向的D点处，点C位于救援船D的北偏西 30°方向上,在接到海轮的求救信号后立即前往营救,其航行速度为 45海里/小时,求救援船到达C点需要的最少时间.(结果保留一位小数，参考数据：1.73） 类型二 遇特殊角的和差作垂线 方法 遇特殊角的和差（15°，75°，105°）作垂线 条件：如图，遇到特殊角（15°，75°，105°） 辅助线：过该角的顶点向对边作垂线 结论：构造出含特殊角的直角三角形 1. 如图，在▲ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°，AC=8，求▲ABC的面积。 2. 如图是某种路灯的平面示意图。MN为立柱的一部分，支架AC，BC与立柱MN分别交于点A,B，AC与BC交于点C，已知∠MAC=60°，∠ACB=15°，AB=20cm，求支架BC，AC的长。 3. 如图,某段铁路修建过程中需要经过一座小山 CD.施工方计划沿 AC方向开挖隧道,为了加快施工速度,要在小山的另一侧D处(A,C,D共线)同时施工.在隧道AD一侧的 B处设有监测站，测得∠CAB=30°,AB=6 km，∠ABD=105°,求 AD 的长(结果保留根号). 典例精析 例1.如图，一艘货轮行驶到A处时，发现它的东北方向40海里处有一灯塔B,货轮继续向北航行到达C点,发现灯塔 B在它北偏东 75°方向. (1)求此时货轮与灯塔B 的距离 BC;（结果保留根号） (2)若货轮继续向北航行一段时间到达点D,发现灯塔B 在它的南偏东 45°方向,求货轮航行的距离CD.（结果保留根号） 针对训练 1.如图是某水产养殖户开发的一个四边形的养殖区域，A，B，C，D四点的位置如图所示，养殖区域四周用围栏包围，经测量可知围栏 AB 的长为10米,∠BDC=45°,∠CBD=105°，且 CD与AD互相垂直.（结果保留根号） (1)养殖户计划在 BD之间修建垂钓栈道，测得∠ABD=15°,求垂钓栈道BD的长； (2)求养殖区域四边形 ABCD 的面积. 类型三 遇特殊角的补角构造反向延长线，作垂线 方法 遇特殊角的补角（120°，135°，150°）构造反向延长线，作垂线 条件：如图，遇到遇特殊角的补角（120°，135°，150°） 辅助线：以该角的一边构造反向延长线，并过该边的对角顶点，作延长线的垂线结论：构造出含特殊角的直角三角形 1. 如图，在▲ABC中，∠C=150°，AC=，求▲ABC的面积。 2. 如图，公路边有一路灯MN，AB是路面，已知MN=5cm，路灯顶端O到M的距离为2m，点A，B，M，N，O在同一平面内，且∠OMN=120°，求路灯顶端距离地面