圆的综合模型 讲义2024年九年级中考数学复习

圆的综合模型 圆的综合题是广东中考非常喜欢考的一类题，往往会结合其他几何知识一起考，难度较大，一般会出现在倒数第二道大题。其中切线的证明是常考题型之一，主要有两个考点，一是已知切点，需连半径证垂直，二是做垂直证明是半径。还有另一类常考题型是求线段长度。基本高级方法有：全等三角形，勾股定理，相似三角形，锐角三角函数。同学们要学会随机应变，从条件入手，死磕条件，初中的题目答案都在条件里。 圆的题型一般都会考到： 1 求线段长度：垂径定理、勾股定理列方程； 2 求角度：圆周角定理、等腰三角形； 3 证明题：证线段关系、角度关系（相似、全等、圆周角定理）； 4 证切线：连半径，证垂直；作垂直，证半径、 5 求阴影部分面积：割补法、拼凑法、等积变形法． 圆的常见辅助线： ① 连接半径：等腰、切线 ② 构造中位线：利用O是直径中点 ③ 作垂直：垂径定理、勾股定理 例1．如图，是圆的直径，厘米，是圆的切线，为切点．过作，交于点，连结． （1）求证； （2）若切线的长为12厘米，求弦的长． A P D B C O 1．如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）点是弧AB的中点，交于点，若，求MN·MC的值． O N B P C A M 2．如图， AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP 、AF． 求证：（1）AF∥BE； （2）△ACP∽△FCA； （3）CP=AE． [· A B O C P E F 源:Z*xx*k.C 例2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC． （1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF； （3）在（2）的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长． 1．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）求证：∠PCA＝∠ABC； （3）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sinP＝，CF＝5，求BE的长． 2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC． （1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长； （2）求证：AE2＝EB·EC． 例3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG，设⊙O半径为5． ①当CF=　　时，四边形ABCG是菱形； ②当BC=4时，四边形ABCG的面积是　 　． 1．如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）求sin∠E的值． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）求证：△BED∽△BCA； （3）若AE=7，BC=6，求AC的长． 例4．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60，AB与PC交于Q点． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）求证：； （3）若∠ABP = 15，△ABC的面积为4，求PC的长． 1．如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点． （1）求证：PA·PB=PC·PD； （2）设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD； （3）若AB=8，CD=6，求OP的长． 课后作业 1．（10分）（2023年•安徽省中考）已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，，若，求证：平分； （2）如图2，为内一点，满足，．若，，求弦的长． 2.（8分）（2023年•甘肃省中考）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为5，时，求的长． 3.（12分）（2023•广东中考）综合探究 如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′． （1）求证：AA'⊥CA'； （2）以点O为圆心，OE为半径作圆． ①如图2，⊙O与CD相切，求证：； ②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O