精品解析：上海市回民中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023学年第一学期高二数学期中试卷 一、填空题（每题4分，共10题） 1. 空间两两相交且不共点的三条直线可以确定______平面． 2. 一个边长为4正方形的直观图的面积为___________. 3. 将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为______． 4. 已知数列满足，（，），则______． 5. 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________. 6. 一平面截一球得到面积为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的体积是________. 7. 点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的______心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 8. 用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上______ 9. 以下命题中，所有真命题的序号为______ ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边； ③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④用经过旋转轴平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形； 10. 我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.如图（1）是一种“蒙古包”的简易视图，其中底面是个正方形，曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于底面.想要计算该蒙古包的体积就可以利用祖暅原理，构造一个与蒙古包同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图（2）），从而求得=_____________. 二、选择题（每题3分，共4题） 11. 当我们停放自行车时，只要将自行车旁撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 12. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. “直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件； B. 内有不共线三点到距离相等，则∥ C. 若直线，，则∥； D. 若∥，，则 13. 下列命题中不正确的是（ ） A. 相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B. 正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等 C. 圆柱的母线垂直于底面 D. 过球面上两点的大圆有且只有一个 14. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 三、解答题（10分+10分+10分+14分，共4题） 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求及其最小值． 16. 如图，在长方体中，，，点P为棱的中点． （1）证明：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 17. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线的中点． （1）求该圆锥侧面展开图的面积； （2）求异面直线与所成角大小． 18. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， . （1）求证：四棱锥为阳马； （2）若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积； （3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期高二数学期中试卷 一、填空题（每题4分，共10题） 1. 空间两两相交且不共点的三条直线可以确定______平面． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面的事实1即可判定. 【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上， 根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 故答案为：1. 2. 一个边长为4的正方形的直观图的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图面积是原图形面积的，即可得出答案. 【详解】解：正方形的面积为， 所以直观图的面积为. 故答案为：. 3. 将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】旋转体为圆柱，高为，底面半