双曲线与反比函数的关系及深度探究 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

双曲线与反比函数的关系及深度探究 一．基本原理 1. 压缩变换：平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的，即，平面上的双曲线变为平面上的等轴双曲线. 结论1.在压缩变换下，平面对应封闭图形面积是原来平面上封闭图形面积的倍，即． 2.旋转变化 图1 图2 首先，我们来说明就是我们熟悉的二次曲线等轴双曲线. 如图1，设，，那么从逆时针旋转后到，两者坐标间的关系为：. 将上述结论应用到圆锥曲线，我们先把等轴双曲线逆时针旋转，看看会得到什么有趣的结果：设是上任意一点，是逆时针旋转后的对应点，则有，整理可得，代入的方程整理可得： ，即我们在初中就已经学过的反比例函数图象. 下来就重点讨论反比例函数的一些重要性质. （1）长轴所在直线为，离心率； （2）顶点是和； （3）实半轴长和虚半轴长是，半焦距是； （4）焦点是和； （5）若直线与反比例函数相切，同时交坐标轴分别与，则. 证明：设切点因为，所以斜率为，所以，直线的方程为： ，令，得，令，得，所以， . 二．典例分析 例1（T8联考16题） 已知双曲线的左、右焦点分别为和，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为________；又过点作双曲线的切线交另一条渐近线于点，且的面积，则该双曲线的方程为_________. 解析：第一个空较简单，. 第二个空：将双曲线压缩再旋转后得到反比例函数，于是， 由于且，可解得：双曲线方程为：. 例2.（2014年福建）已知双曲线的两条渐近线分别为，． （1）求双曲线的离心率； （2）如图，点为坐标原点，动直线分别交直线，于，两点，分别在第一、第四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程，若不存在，说明理由． 解：（1）因为双曲线的渐近线分别为，，所以．所以．故，从而双曲线的离心率． （2） 由（1）知，双曲线的方程为．作， 再将双曲线沿逆时针旋转得：；， 设与双曲线切于点， 则，故方程为 ，， ，通过仿射变换回去可知，双曲线方程为 例3.（布里安香定理）（23届南京盐城一模）已知双曲线的离心率，直线 与双曲线仅有一个公共点. （1）求双曲线的方程； （2）设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线于两点，求证：的垂心在双曲线上. 下证：若的顶点在反比例函数的图像上，则的垂心也在反比例函数的图像上. 证明：由于点在反比例函数的图像上，所以. 故，则. 由于，则过点与直线垂直的直线的斜率为，所以为. 同理，过点且与直线垂直的直线为. 联立的方程解得，. 故，即垂心也在反比例函数图象上. 三．习题演练 1．将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为和轴）．设，，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（    ） A． B．4 C． D． 解析：旋转后两条渐近线分别为和，夹角为，旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线，所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为，斜率为，方程为， 联立，解得或，所以旋转后的双曲线的两个顶点为或，所以实轴长为.故选：C 2．我们知道：反比例函数的图象是双曲线，它关于直线对称，以轴，轴为渐近线．实际上，将的图象绕原点顺时针或逆时针旋转一个适当的角，就可以得到双曲线或．则关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线上的任意点到两点，的距离之差为 B．该曲线可由绕原点顺时针旋转后得到 C．在曲线上任意一点处的切线与轴，轴围成的三角形的面积为8 D．该曲线的实轴长和虚轴长均为4 解析：对于A中，如图所示，不妨设曲线按顺时针旋转，可得， 此时双曲线为等轴双曲线，即，联立方程组，解得，可得，即，可得，， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，根据双曲线的定义得到，所以A、D都不正确； 对于B中，由双曲线绕原点顺时针旋转后得到反比例函数，所以B不正确； 对于C中，设曲线上的任意一点，由，可得，即切线的斜率为，所以切线方程为，令，可得，令，可得，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为，所以C正确. 故选：C. 3．已知双曲线：，为的右顶点，若点到的一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，是上异于的任意两点，且的垂心为，试问：点是否在定曲线上？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由． 解析：（1）的标准方程为； （2）情形一：，中没有一点为，且直线的斜率存在，