素养拓展32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式 1.如图1所示，、是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记，则的面积. 证明：如图，由余弦定理知． ① 由椭圆定义知：， ② 则②·2－①得，． 当时，． 2.如图2所示，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积. 证明：如图，由余弦定理知， ， ， ，， ∴． 当时，． 二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率 1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比. 公式： 2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比. 公式：. 二、题型精讲精练 【典例1】设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积为________. 【解析】由焦点三角形面积公式，. 【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________. 【解析】由焦点三角形面积公式，. 【典例3】（2018·新课标Ⅱ卷）已知、是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【解析】解法1：如图，， ，故可设，则，， 所以C的离心率. 解法2：如图，. 【典例4】已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，且，则双曲线C的离心率为_______. 【解析】解法1：如图，由题意，不妨设，则，， 所以. 解法2：如图，由题意，，，所以. 【题型训练-刷模拟】 1.椭圆中的焦点三角形 ①离心率公式的直接应用 一、填空题 1.设、是椭圆的左、右焦点，P在C上且轴，若，则椭圆C的离心率为_______. 2.在中，，，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______. 3.过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_______. 4.在中，，，且，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______. 5.在中，，，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______. 6.设、是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，，则椭圆C的离心率为_______. 7.在中，，，，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率为_______. 8.过椭圆的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______. 9.设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______. 10.设、是椭圆的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆的4个交点和、恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______. 11.已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为_______. ②综合应用 一、单选题 1．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，则内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知点在椭圆上，点分别为椭圆的左､右焦点，并满足面积等于4，则等于（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 8．，是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（    ） A． B． C． D． 10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知，分别是椭圆E：（）的左、右焦点，点M在椭圆E上，，的面积为，则椭圆E的离心率e