素养拓展13 三角形中的“四心”问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展13 三角形中的“四心”问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、三角形的四心定义 外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 二、三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 重要结论：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 三、三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 重要结论：若点是△的外心，则 或 ；反之，若或 ，则点是△的外心。 四、三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心． 五、垂心 三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心. 重要结论：若是△的垂心，则或 ，反之，若或 ，则是△的垂心． 二、题型精讲精练 【典例1】若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___． 【答案】 【解析】在中，取中点，连接，由重心的性质可得为的三等分点，且， 又为的中点，所以，所以，所以.故答案为： 【典例2】已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设中点为，所以， 所以， 即，所以， 又由为中点可得点在的垂直平分线上，所以点是的外心，故选：B 【典例3】已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量， 则的方向与的角平分线一致， 由，可得，即， 所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C. 【典例4】设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【答案】C 【解析】在中，为外心，可得， ∵，∴，设的中点为，则，， ∴，可得在边的高线上．同理可证，在边的高线上， 故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，故选：C 【题型训练-刷模拟】 1.重心 一、单选题 1．（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为O，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 3．（陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（陕西省西安市长安区2023届高三一模理科数学试题）在平行四边形中，为的重心，，则（    ） A． B．2 C． D．3 7．（福建省福州第一中学2023届高三适应性考试（三）数学试题）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（    ） A．