第1章 习题课 直线与圆的方程的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

习题课　直线与圆的方程的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.能正确理解直线与圆的方程． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 3．体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”． 通过直线与圆的方程应用的学习，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算以及数学建模的核心素养． 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)利用坐标法解决几何问题时，可以随意建立坐标系．(×) (2)在实际问题中，应注意变量的取值范围．(√) 2．已知两条直线l1：x－y＋2＝0与l2：x－y－6＝0被圆C截得的线段长均为2，则圆C的面积为(　　) A．5π　　　　　　　　 B．4π C．3π D．2π A　[由题意知，l1∥l2，l1与l2间的距离为 h＝＝4. 故圆心C到直线l1的距离为2. 因为直线l1被圆截得的弦长为2， 所以圆的半径为r＝＝. 圆C的面积为πr2＝5π.] 3．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线 3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为_____________________________________________． x2＋y2－4x＝0　[设圆心为(a，0)(a>0)，则＝2，解得a＝2. 故所求方程为(x－2)2＋y2＝4， 即x2＋y2－4x＝0.] 4．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为________． 2－1　[圆心(－2，1)到直线y＝x－1的距离d＝＝2. 所以直线上的点到圆的最近距离是2－1.] 已知台风中心从A地以每小时100 km的速度向东北方向移动，距离台风中心30 km内的地区为危险区．城市B在A地的正东方向相距40 km处，求B城市处于危险区内的时间． 解　如右图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．又AB＝40 km，∠CAB＝45°，所以点B到AC的距离为20 km. 则射线AC被以B为圆心，以30 km为半径的圆截得的弦长为2＝20(km)． 故B城市处于危险区内的时间为t＝＝0.2(h). [方法总结] 1．解决直线与圆的方程的实际应用题的步骤 2．建立平面直角坐标系应遵循的三个原则 (1)若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴． (2)常选特殊点作为平面直角坐标系的原点． (3)尽量使已知点位于坐标轴上 [训练1]　已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4 m的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5 m, 则车辆的最大高度为________ m. 　[建立如右图所示的平面直角坐标系，O是圆心，|OA|＝2.5， 半圆方程为x2＋y2＝16(y≥0)， A(2.5，0)，B在半圆上，且BA⊥x轴． 则y＝16－2.52＝9.75，解得yB＝. 故答案为.] [知能解读]　求解与圆有关的最值问题的方法 1．根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． (1)形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2．建立函数关系式求最值 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值． 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值． (2)求y－x的最大值和最小值． (3)求x2＋y2的最大值和最小值． [分析]　本题可将和y－x转化为与直线斜率、截距有关的问题，x2＋y2可看成是点(x，y)与点(0，0)距离的平方，结合图形的性质求解． 解　(1)如右图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆． 设＝k，则y＝kx，易知当圆心(2，0)到直线y＝kx的距离等于圆的半径时，直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由＝，解得k2＝3. 所以k＝或k＝－. 故的最大值为，最小值为－. (2)设y－x＝b，则y＝x＋b.由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方．由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4