6.5 正态分布（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§5　正态分布 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2．通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3．了解正态分布的均值、方差及其含义． 1.在理解正态分布概念的过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解正态分布问题的过程中，增强逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． 由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如下图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线． 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型． 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X在区间(a，b]的概率可以用P(a＜X≤b)来表示．它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a，b]对应的曲边梯形面积的值(如下图). 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ＞0)确定，记为X～N(μ，σ2)，其中EX＝μ，DX＝σ2． 1．曲线在x轴的上方，与x轴不相交． 2．曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称． 3．曲线的最高点位于x＝μ处． 4．当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线(如下页图所示). 5．因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线还具有下列特点： (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中． 如下图，正态分布随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ](σ＞0)上取值的概率为阴影部分的面积． 特别地，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 因此，随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分别约为68.3%，95.4%，99.7%.而随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件．因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)正态变量函数表述式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(×) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(×) (3)正态曲线关于y轴对称．(×) (4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”．(√) 2．若f(x)＝e－，x∈R，则f(x)(　　) A．有最大值，也有最小值　　　 B．有最大值，但无最小值 C．无最大值，也无最小值 D．有最小值，但无最大值 B　[当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝＝.f(x)无最小值．] 3．(多选题)把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法正确的是(　　) A．曲线b仍然是正态曲线 B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2 ABD　[正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故选项C错误，其他正确．] 4．(教材第217页习题6­5题3改编)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． D　[由题意知X的均值为2，因此P(X<2)＝.] (1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如右图所示，则有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 (2)一个正态曲线如右图所示，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． (1)A　[根据正态曲线的特征，对称轴方程是x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得μ1＜μ2，σ1＜σ2.] (2)解　从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为， 所以μ＝20，＝.解得σ＝. 于是f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞). 总体随