6.1.3 全概率公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．3　全概率公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合实例，理解并掌握全概率公式． 2．了解贝叶斯公式并会简单应用． 通过对全概率公式、贝叶斯公式的学习，加强数学抽象、逻辑推理的核心素养． 一般地，设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1, 2, …， n)，则对任意一个事件A，有P(A)＝． 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1, 2, …， n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai|B)＝＝＝，i＝1，2，…，n. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)全概率公式解决由因索果问题．(√) (2)贝叶斯公式是在“结果”已经发生的条件下，寻找各“原因”发生的条件概率．(√) 2．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别是总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　　) A．0.012 3　　　　　　　 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 C　[本题为简单的全概率公式的应用．从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.] 3．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件．则第一次和第二次都抽到次品的概率是________． 　[设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B. 则P(AB)＝＝＝.] [知能解读] 1．全概率公式的来由 不难由P(B)＝(Ai)P(B|Ai)看出：“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于：在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算. 2．我们还可以从另一个角度去理解全概率公式 (1)某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i＝1，2，…，n)，若B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai). (2)每一原因都可能导致事件B发生，故事件B发生的概率是各原因引起事件B发生概率的总和，即全概率公式． (3)由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．全概率公式表达了它们之间的关系． 设有2箱同一种商品：第一箱内装50件，其中有10件优质品；第二箱内装30件，其中有18件优质品．现在随意打开1箱，从中随意取出1件，求取到的是优质品的概率． 解　设A＝{取到的是优质品}，Bi＝{打开的是第i箱}(i＝1, 2)，则P(B1)＝P(B2)＝，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝. 由全概率公式得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝. [方法总结]　全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： (1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai； (2)命名目标的概率事件为事件B； (3)代入全概率公式求解 [训练1]　盒中有a个红球，b个黑球，现随机从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次取1个球，求第二次取出的是黑球的概率． 解　设A＝{第一次取出的是黑球}，B＝{第二次取出的是黑球}，则B＝AB∪B. 由题意知，P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝， 由全概率公式得 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝＋ ＝. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． 解　设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，A2＝{经过的是客车}，则B＝A1B∪A2B.由已知得P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02， P(B|A2)＝0.01. 由贝叶斯公式有 P(A1|B)＝ ＝ ＝＝0.80. 故该汽车是货车的概率为0.80. [方法总结]　贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求出事件过程的某个条件成立的概率，解题步骤如下： (1)找出目标条件所在的完备事件组，并命名； (2)命名已知会发生的结果事件； (3)代入贝叶斯公式求解 [训练2]　已知在所有男性中有5%患有色盲症，在所有女性中有0.25%患有色盲症．随机抽1人发现患色盲症，问其为男性的概率是多少？(设男性和女性的人数相等) 解　设A表示抽到的为男性，B表示抽到的是女性，C表示抽到的人有色盲症． 则P(A)＝P(B)＝， P(C|A)＝0.0