5.4.2 二项式系数的性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4.2　二项式系数的性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握二项式系数的性质及其应用． 2．掌握“赋值法”并会灵活运用． 在运用二项式系数的性质及赋值法求解问题的过程中，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 如下图，当n依次取1，2，3，4，5，6，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数构成的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角．它有如下的规律： 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C. 2．增减性与最大值 当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减小． 当n是偶数时，中间的一项的二项式系数C取得最大值；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数C与C相等，且同时取得最大值． 3．二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.(×) (2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(×) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(×) 2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11　　　　　　　　　　 B．10 C．9 D．8 D　[因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，即n＝8.] 3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项是第______项． n＋1　[(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的二项式系数最大，它是第n＋1项．] 4．(多空题)若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则n＝__________，其展开式中的常数项为__________．(用数字作答) 5　10　[令x＝1，得2n＝32，即n＝5.则Tr＋1＝C·(x2)5－r·()r＝C·x10－5r.令10－5r＝0，得r＝2.故常数项为T3＝10.] 设(1－2x)2 015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 015·x2 015(x∈R). (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 015的值． (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 015的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015|的值． 解　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 015＝(－1)2 015＝－1.① (2)令x＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a2 015＝32 015.② ①－②，得2(a1＋a3＋…＋a2 015)＝－1－32 015. 故a1＋a3＋a5＋…＋a2 015＝. (3)因为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r， 所以a2k＋1<0，a2k>0. 故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015|＝a0－a1＋a2－…－a2 015＝32 015. [方法总结]　“赋值法”的应用 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． [训练1]　已知m是常数，(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________． 3　[取x＝0，则(－1)5＝a0＝－1. 取x＝1，则(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1＋33＝32.所以m－1＝2，即m＝3.] [训练2]　已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋a3＋…＋a7为多少？ 解　因为(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 所以a0＝(－m)7. 又展开式中x4的系数是－35， 可得C(－m)3＝－35. 所以m＝1.所以a0＝(－m)7＝－1. 在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中， 令x＝1，m＝1，可得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7. 所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1. 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项． (2)求展开式中系数最大的项． 解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n. 又展开式中各项的二项式系数之和为2n， 由题意知，4n－2n＝992， 所以(2n)2－2n－992＝0. 所以(2n＋31)(2n－32)＝0. 所以2n＝－31(舍去)或2n＝32.所以n＝5. (1)因为n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3＝C(x)3(3x