4.1 数学建模实例（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　数学建模实例 [案例之一]　怎样烧燃气最节省 一、问题提出 现在许多家庭都以燃气为烧水做饭的燃料，节约用气是非常现实的问题．怎样烧开水最省气？ 二、分析理解 省燃气的含义就是烧开一壶水燃气的用量最少． 一般来说，烧水时是通过灶上的旋钮来控制燃气流量的大小，流量大小随着旋钮位置的变化而变化． 燃气用量与旋钮的位置具有函数关系． 旋钮在什么位置时烧开一壶水燃气的用量最少？ 三、建立数学模型解决问题的方案 1．给定燃气灶和一只水壶； 2．选好五个位置分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量； 3．利用数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析式； 4．利用函数解析式求最小用气量； 5．对结果的合理性作出检验分析． 四、实施方案 1．实验 燃气旋钮在不同位置时烧开一壶水所需燃气量表 项目 位置　　　 开始时燃气表读数/m3 水开时燃气表读数/m3 所用燃气量/m3 18° 9.080 9.210 0.130 36° 8.958 9.080 0.122 54° 8.819 8.958 0.139 72° 8.670 8.819 0.149 90° 8.498 8.670 0.172 设计意图 可能遇到的困难是： ①不知如何寻找温度与时间的函数关系； ②图形计算器的使用不熟练； ③不能恰当地选择函数模型； ④在选择模型遇到挫折时容易灰心，产生放弃的念头； ⑤用指数模型时只从数学角度考虑却忽略水温不可能降到室温以下，指数型函数图象的渐近线不是x轴； ⑥当图形计算器没有所需要的函数模型时不会转化． 面对这些困难可以考虑采取如下策略：①独立思考；②小组讨论；③互帮互学；④及时鼓励；⑤合作交流；⑥成果展示；⑦启发诱导等方式进行． 2．拟合函数 y＝1.903 3×10－5x2－1.472 2×10－3x＋1.503 3×10－1. 3．求最小用气量 y＝1.903 3×10－5x2－1.472 2×10－3x＋1.503 3×10－1， x0＝－＝－≈39(度)， y0＝≈0.121 8(m3). 4．检验分析 如果基本吻合，就可以依次作出结论． 如果不吻合，就要回到前期数据采集成数据拟合的环节，检查是否有与实际不符合的地方，从而修正模型及模型的解． 在建模过程中值得注意的是： (1)可以想象，当旋钮旋转的角度非常小，只有一点点火时，其火力是不能够将水烧开的，长时间燃火的燃气量可以非常大，即图中贴近纵轴的位置会非常高，那么整个图象就不是二次函数图象了． (2)在做实验时，每次烧水前的水壶温度完全一样吗？读数准确吗？我们在建立函数模型之前，主观上作出这样的假设：实验是足够准确的，所得的实验数据是精确的． 四、抽象概括 用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模． 数学建模过程如下： [思考交流] 以上是以烧开水为例来进行调查的，我们可以进一步思考：如果做饭，例如炒菜、蒸饭、或熬粥时都需要使用燃气，那么该如何使用才能最省气呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$