3.4.3 第2课时 空间中的距离问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　空间中的距离问题 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握点到平面的距离公式、点到直线的距离公式． 2．能用向量方法解决点到平面、点到直线的距离问题． 3．能描述用向量方法解决距离问题的程序，体会向量方法在研究距离问题中的作用． 通过点到平面的距离公式、点到直线的距离公式的学习以及利用向量方法解决点到平面、点到直线的距离问题，强化数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 点到平面的距离公式：点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|． 点到直线的距离公式：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝ _． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)用向量法求点到直线的距离，是将点到直线的距离转化为已知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直的向量方向上的投影向量的模．(√) (2)用向量法求点到平面的距离，是将点到平面的距离转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模.(√) (3)两异面直线间的距离可以转化为直线与平面的距离，进而可转化为点到平面的距离.(√) (4)两平行直线间的距离可以转化成点到直线的距离．(√) 2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． D　[因为A(－1，3，0)，P(－2，1，4)， 所以＝(－1，－2，4). 因为n＝(－2，－2，1)， 所以·n＝10，|n|＝3. 所以点P到α的距离为＝.] 3．已知向量n＝(6，3，4)为直线l的方向向量，点A(2，0，2)在直线l上，则点P(－4，0，2)到直线l的距离为________. 　[由题意，与向量n同向的单位向量l0＝(6，3，4)，＝(－6，0，0)， 则点P(－4，0，2)到直线l的距离d＝＝ ＝.] 4．已知直线AB∥平面α，平面α的法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________. 　[由于直线AB∥平面α，故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离． 因为＝(1，2，0)，所以点A到平面α的距离为d＝＝＝.] 如下图，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为AB，BC的中点，求点D1到平面B1EF的距离． [分析]　建立空间直角坐标系，先求平面B1EF的法向量n，再利用点到平面的距离公式求解． 解　如右图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则E(2，，0)，F(，2，0)， B1(2，2，4)，B(2，2，0)，D1(0，0，4)， 所以＝(0，，4)，＝(，0，4)，＝(－2，－2，0). 设n＝(x，y，z)是平面B1EF的法向量，则n⊥，n⊥． 所以 所以x＝y＝－2z.可取n＝(2，2，－1). 所以点D1到平面B1EF的距离 d＝＝＝． [方法总结]　求点到平面的距离的四个步骤 [训练1]　已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离． 解　如右图，建立空间直角坐标系，则B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)，＝(2，－2，0)，＝(2，4，－2)，＝(2，0，0). 设平面GEF的一个法向量是n＝(x，y，1)， 则由n⊥，n⊥，得 即解得 所以n＝(，，1). 则点B到平面GEF的距离为 d＝＝. 如下图，在棱长为a的正方体ABCD ­A1B1C1D1 中，M是线段DC1的中点，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求点M到直线AD1的距离． [分析]　利用点到直线的距离公式求解． 解　如题图，有A(a，0，0)，C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，M(0，，)， 则＝(－a，0，a)，＝(0，－，). 故直线的一个单位方向向量s＝(－，0，)，||2＝a2，·s＝a. 所以点M到直线AD1的距离 d＝＝ ＝a. [变式]　将例2的条件“M是线段DC1的中点”改为“M是线段DC1上的动点”，试求点M到直线AD1距离的最小值． 解　如题图，有A(a，0，0)，D1(0，0，a). 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，则＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s＝(－，0，)，＝(0，－m，a－m). 故点M