3.4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行及垂直关系． 2．能用向量方法证明有关直线、平面之间的位置关系，体会向量方法在研究几何问题中的应用． 通过利用向量方法证明有关直线、平面之间的位置关系的学习，增强数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λ_u2 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0 面面平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λ_n2 位置关系 向量表示 图形表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λ_n 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 1．三垂线定理 (1)语言表示：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直． (2)符号表示：⇒l⊥AC. 2．三垂线定理的逆定理 (1)若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直． (2)符号表示：⇒l⊥BC. 3．三垂线定理及其逆定理图示 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1和l2的位置关系是平行．(√) (2)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β或α与β重合．(√) (3)已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.(√) 2．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为 n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α　　 B．l⊥α　　 C．l⊂α　　 D．l与α斜交 B　[因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)， 所以n＝－2a，即a∥n.所以l⊥α.] 3．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(3，7，3)，则平面α与平面β的位置关系是________． 垂直　[n1·n2＝2×3－3×7＋5×3＝0，即n1⊥n2.则平面α⊥平面β.] 4．四棱锥P ­ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，则PC与BD的位置关系是________． 答案：垂直 已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明　如右图所示建立空间直角坐标系D ­xyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2). 所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1). (1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥，n1⊥. 故解得 令z1＝2，则y1＝－1.所以n1＝(0，－1，2). 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE， 所以FC1∥平面ADE. (2)由题意有＝(2，0，0). 设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量． 由n2⊥，n2⊥，得 解得 令z2＝2，得y2＝－1.所以n2＝(0，－1，2). 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. [方法总结] 1．利用空间向量证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行． 2．利用空间向量证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R) [训练1]　已知在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1. 证明　以D为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，2a，0)，C(0，2a，0)，D1(0，0，a)，