3.3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3．2　空间向量运算的坐标表示及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握空间向量的坐标表示． 2．掌握空间向量的加减法、数乘运算和数量积的坐标表示． 3．掌握空间向量平行(共线)和垂直的充要条件． 4．掌握空间向量长度与夹角的坐标表示． 通过空间向量的坐标表示，加减法、数乘运算和数量积的坐标表示，空间向量平行(共线)和垂直的充要条件以及空间向量长度与夹角的坐标表示的学习与应用，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．空间向量的坐标表示 (1)在空间直角坐标系O ­xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基． 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝x_i＋y_j＋z_k． 反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝x_i＋y_j＋z_k与之对应．这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)． 单位向量i，j，k都叫作坐标向量．xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量． (2)若点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． 也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 2．空间向量运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)； (3)λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R； (4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． 1．如果设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得a＝λb⇔∃λ∈R，使得 当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔＝＝． 2．如果设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 1．设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 |a|＝＝． 2．若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB|＝||＝ ． 3．cos 〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0). 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)相等向量的坐标相同．(√) (2)一个坐标对应于唯一的一个向量．(×) (3)空间中一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应．(√) (4)||表示A，B两点之间的距离．(√) 2．(教材第112页练习题1改编)已知{i，j，k}是空间的一组标准正交基，则下列坐标为j所对应的是(　　) A．(0，0，0)　　　　　　　 B．(1，0，0) C．(0，1，0) D．(0，0，1) 答案：C 3．(教材第111页例2改编)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 D　[易验证选项A，B，C均不正确． 由|a|＝＝6，可知选项D正确．] 4．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________． 4　[因为a∥b，所以∃λ∈R，使得b＝λa. 所以解得 所以x－y＝4.] 5．空间中与向量(－3，－4，5)共线的单位向量是__________． ±(－，－，)　 [因为与向量a共线的单位向量是±，又向量(－3，－4，5)的模为＝5， 所以与向量(－3，－4，5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4，5)＝±(－，－，).] 如右图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，以{，， }为标准正交基，建立如图所示的空间直角坐标系C ­xyz. (1)写出B，C1，B1，M，N五点的坐标． (2)写出向量，，的坐标． 解　(1)点B在y轴上，且CB＝1，所以＝0i＋j＋0k.故点B的坐标是(0，1，0).同理，点C1的坐标为(0，0，2).点B1在x轴、y轴、z轴上的投影分别为C，B，C1，它们在坐标轴上的坐标分别为0，1，2，所以点B1的坐标是(0，1，2).同理，点M的