3.2.2 空间向量的运算(数量积)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．2　空间向量的运算(数量积) 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握空间向量的夹角的概念． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律． 3．理解投影向量与投影数量的概念． 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题． 通过空间向量的数量积的定义、几何意义、性质、运算律的学习与应用，形成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． 1．两个向量夹角的定义：如下图，已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地，当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反；当〈a，b〉＝时，向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 3．性质 (1)〈a，b〉＝〈b，a〉； (2)若a∥b，则〈a，b〉＝0或π． 定义 已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos_〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉． 零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0 性质 (1)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)； (2)|a|＝； (3)a⊥b⇔a·b＝0 运算律 a·b＝b·a(交换律) a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律) (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 1．向量b在向量a方向上的投影向量 如下图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos_〈a，b〉|． 当〈a，b〉为锐角时，|b|cos 〈a，b〉＞0(如图①)； 当〈a，b〉为钝角时，|b|cos 〈a，b〉＜0(如图②)； 当〈a，b〉＝时，|b|cos 〈a，b〉＝0(如图③). 2．向量b在向量a方向上的投影数量 若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为＝|b|cos_〈a，b〉_a0．称|b|cos_〈a，b〉为投影向量的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos 〈a，b〉＝＝a0·b． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×) (2)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(×) (3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(×) (4)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(×) (5)对于任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b．(×) (6)向量a在向量b上的投影数量等于向量b在向量a上的投影数量．(×) 2．(教材第103页练习题4改编)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2　 　　　　　　　　 B．a2 C．a2 D．a2 C　[·＝(＋)· ＝(·＋·) ＝(a×a×＋a×a×) ＝a2.] 3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A.－6 B．6 C．3 D．－3 B　[由题意可得 a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0. 所以2k－12＝0.所以k＝6.] 4．在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝________． 5　[因为＝＋＋， 所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋32＋2(1×2×＋1×3×＋2×3×)＝25. 故||＝5.] 如下图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点． 求：(1)·；(2)·；(3)·. [分析]　求出每组向量中各向量的模以及它们的夹角，根据数量积的定义进行计算． 解　(1)· ＝· ＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 60°＝， 所以·＝. (2)·＝· ＝||||·cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 0°＝， 所以·＝. (3)·＝· ＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 120° ＝－， 所以·＝－. [方法总结]　在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解．注意挖掘几何体