2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 课程内容标准 学科素养凝练 1.能运用直线与圆锥曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题． 2．能运用直线与圆锥曲线的位置关系解决相关的最值、取值范围问题． 通过学习直线与圆锥曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题与最值、取值范围问题，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题． 弦长公式如下：若斜率为k的直线l与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝|x1－x2| ＝ ＝ |y1－y2| ＝ . 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知椭圆的长轴长为2a，过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a.(√) (2)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(√) 2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2| 的值为(　　) A．5　　　　　　　　　　 B．6 C．8 D．10 C　[抛物线x2＝4y的准线为y＝－1.因为P1，P2两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1.所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.] 3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B． C． D． C　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线l的方程为y＝x＋t. 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. 则x1＋x2＝－t，x1x2＝. 故|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝·， 当t＝0时，|AB|max＝.] 4．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________． 　[由 得或 则A(0，1)，B(－，－). 故|AB|＝ ＝.] 角度1　直线与圆锥曲线的相交弦问题 [知能解读]　直线与圆锥曲线相交时，常出现弦长、弦中点问题．该类问题一般是联立直线方程与圆锥曲线方程，消元得关于x(或y)的二次方程后，写出根与系数的关系式，再结合中点公式或两点间的距离公式处理． 已知椭圆4x2＋y2＝1和直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 解　(1)由消去y，得 5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0. 解得－≤m≤ . 故实数m的取值范围是. (2)设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2). 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－， x1x2＝(m2－1). 故d＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 所以当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x. [方法总结]　求直线被圆锥曲线截得弦长的方法 1．距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． 2．弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率. [训练1]　经过点M(2，2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB的中点． (1)求直线l的方程． (2)求线段AB的长． 解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2).分别代入双曲线方程，得x－＝1，x－＝1. 两式相减得x－x－(－)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为M为AB的中点， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝4. 所以4(x1－x2)－(y1－y2)＝0. 所以kl＝＝4. 经检验kl＝4符合题意． 故l的方程为y－2＝4(x－2)，即4x－y－6＝0. (2)将y＝4x－6代入x2－＝1，得 3x2－12x＋10＝0. 则有x1＋x2＝4，x1x2＝. 故|AB|＝＝. 角度2　抛物线中过焦点的弦长问题 [知能解读]　斜率为k的直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，你能想到哪些求弦