2.3.2 抛物线的简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3．2　抛物线的简单几何性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解抛物线的简单几何性质． 2．能利用性质解决与抛物线有关的问题． 3．能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题． 通过抛物线的简单几何性质的运用，进一步增强直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径[其中 P(x0，y0)] |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×) (2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(√) (3)若AB是焦点弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(√) 2．(教材第71页练习题1改编)已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(2，－2)，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－6x　　　　　　 B．x2＝－4y C．x2＝－6y D．x2＝6y C　[由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0). 因为点P(2，－2)在抛物线上， 所以12＝4p.解得p＝3. 所以抛物线的标准方程为x2＝－6y.] 3．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A.(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) D　[因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 所以＝3，即p＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为， 所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).] 4．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2，0)，则抛物线的准线方程为__________. x＝－2　[由抛物线的几何性质可知，从焦点发出的光线经抛物线反射后与x轴平行，又直线y＝－2平行于x轴，则A(2，0)为抛物线的焦点．故准线方程为x＝－2.] 探究一　由抛物线的几何性质求其标准方程 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求抛物线的方程． [分析]　因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长等于2，可知交点纵坐标为±. 解　如右图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)， 则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2. 由对称性知y2＝－y1，所以y1＝. 将y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1. 所以点(1，)，(－1，)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上． 所以3＝2p或3＝(－2p)×(－1).解得p＝. 故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x. [方法总结]　根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论 [训练1]　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3.求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴． 设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0). 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，所以p＝6. 故抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 相应的准线方程分别为x＝－3或x＝3. 已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程． 解　由题意知，抛物线的焦点为F(，0). 因为抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|， 所以△ABO为等腰三角形， 且A，B两点关于x轴对称． 设A(x0，y0)，则B(x0，－y0). 因为△ABO的垂心恰为抛物线的焦点， 所以BF⊥OA. 则kBF·kOA＝－1，即·＝－1. 又y＝2px0，所以x0＝p. 所以直线AB的方程为x＝. [变式]　把例2的条件“垂心”改为“重心”，其他不变，求直线AB的方程． 解　因为抛物线关于x轴对称，