2.3.1 抛物线及其标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．了解抛物线的几何图形和标准方程． 3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题． 通过抛物线的有关概念和标准方程的学习与运用，强化直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 集合表示 P＝{M||MF|＝d，d为点M到准线l的距离} 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) (，0) x＝－ y2＝－2px(p＞0) (－，0) x＝ x2＝2py(p＞0) (0，) y＝－ x2＝－2py(p＞0) (0，－) y＝ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×) (2)抛物线的标准方程中，p的几何意义是焦点到准线的距离．(√) (3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(×) (4)抛物线就是一元二次函数的图象．(×) 2．关于抛物线x2＝4y，下列描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为(0，) C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为(，0) A　[ 抛物线x2＝4y开口向上，焦点为(0，1).] 3．(教材第69页练习题2改编)抛物线x2＋2y＝0的准线方程为(　　) A．x＝　　　　　　　　 B．x＝－ C．y＝ D．y＝－ C　[抛物线方程可化为x2＝－2y，由此得抛物线开口向下，2p＝2.则＝.故准线方程为y＝.] 4．(教材第69页练习题1改编)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，则它的标准方程为____________． x2＝8y　[由条件可知，抛物线的焦点在y轴正半轴上，则设它的标准方程为x2＝2py(p>0). 由题意得，＝2，即p＝4. 所以抛物线的标准方程为x2＝8y.] 探究一　求抛物线的焦点坐标及准线方程 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并说明抛物线开口方向： (1)y＝x2；(2)x＝ay2(a≠0). [分析]　首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p的值，再写出焦点坐标和准线方程． 解　(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，所以p＝2. 故焦点坐标是(0，1)，准线方程是y＝－1，抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y2＝x， 所以2p＝. ①当a>0时，＝，抛物线开口向右， 所以焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－. ②当a<0时，＝－，抛物线开口向左， 所以焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－. 综上，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.当a>0时，开口向右；当a<0时，开口向左． [方法总结]　抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，求解时不需要讨论a的正负 [训练1]　(1)抛物线x2＝8y的焦点坐标是(　　) A．(0，2)　　　　　　　　 B．(0，－2) C．(4，0) D．(－4，0) (2)若抛物线y2＝ax的准线方程为x＝1，则a＝__________． (1)A　[由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，2p＝8，则＝2.所以焦点坐标为(0，2).] (2)－4　[y2＝ax的准线方程为x＝－，则－＝1，所以a＝－4.] 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝； (2)过点(－3，2)； (3)焦点在直线x－2y－4＝0上； (4)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. [分析]　根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式． 解　(1)由抛物线的准线交y轴于正半轴，可设该抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0).由题意，得＝，所以p＝.故抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)根据点(－3，2)在第二象限，设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0). 将点(－3，2)代入方程，得2p＝或2p＝. 故抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y. (3)①令x＝0，由x－2y－4＝0，得y＝－2. 所以抛物线的焦点坐标为(0，－2). 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0). 由＝2，得2p＝8. 故抛物线的标准方程为x2＝－8y. ②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4. 故抛物线的焦点坐标为(4，0).