2.2.2 双曲线的简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．2　双曲线的简单几何性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解双曲线的简单几何性质． 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 3．会判断直线与双曲线的位置关系． 通过双曲线的简单几何性质的运用，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝，且e＞1 渐近线 y＝±x y＝±x 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(√) (2)等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的渐近线互相垂直，离心率等于.(√) (3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).(√) (4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k＝±.(×) (5)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×) 2．(教材第64页练习题1改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 C　[双曲线方程可变形为－＝1， 所以a2＝4.解得a＝2.故2a＝4.] 3．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x A　[由－＝1，得a2＝2，b2＝2，即a＝b＝.则渐近线方程为y＝±x.] 4．若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________． 48　[由题意知a2＝16，即a＝4.又e＝2，所以c＝2a＝8.故m＝c2－a2＝48.] 探究一　利用几何性质求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1　　　　　　 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)，则双曲线的标准方程为____________. (1)D　[不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝.又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3.故所求双曲线的方程为x2－＝1.] (2)－＝1　[方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为 －＝1(a>0，b>0). 由双曲线的渐近线方程为y＝±x， 得＝.① 因为点A(2，－3)在双曲线上， 所以－＝1.② 联立①②，无解． 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③ 因为点A(2，－3)在双曲线上， 所以－＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x， 可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0). 因为点A(2，－3)在双曲线上， 所以－(－3)2＝λ.解得λ＝－8. 故所求双曲线的标准方程为－＝1.] [方法总结] 1．由双曲线的几何性质求双曲线方程的常用方法 (1)定义法：设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程． (2)待定系数法：首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求解． 2．双曲线方程的常见设法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0). (2)与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置． (4)与双曲线－＝1共焦点的方程可设为－＝1 (λ≠0，－b2<λ<a2). [训练1]　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； (2)过点(2